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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 39

Ache o centro de massa de uma barra com 8   cm se a densidade linear num ponto a x   cm do extremo esquerdo é ρ x g/cm onde ρ x = x 2 + 36 .

Passo 1

Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar como fazemos o cálculo do centro de massa pedido.

Um barra com L   cm de comprimento tem seu extremo esquerdo na origem e ρ x   kg/cm é a densidade linear no ponto a x   cm da origem, onde ρ é contínua em [ 0 , L ] . O momento de massa da barra em relação à origem é M 0   kg-cm , onde:

M 0 = ∫ 0 L x ρ x d x

O centro de massa da barra está em um ponto x - tal que se M   kg for a massa total da barra, então x - M = M 0 . Sendo assim,

x - = M M 0 = ∫ 0 L x ρ x d x ∫ 0 L ρ x d x

Utilizando os dados do enunciado, temos L = 8   cm e ρ x = x 2 + 36 . Logo,

x - = ∫ 0 8 x x 2 + 36 d x ∫ 0 8 x 2 + 36 d x

Passo 2

Vamos começar calculando ∫ 0 8 x x 2 + 36 d x . Para isso, vamos fazer a substituição x 2 + 36 = u , derivando nós temos 2 x d x = d u   →       x d x = d u 2 .

Trocando os limites de integração, temos o seguinte:

x = 0     →       u = 0 + 36 = 36 x = 8     →       u =   64 + 36 = 100

A integral na variável u será:

∫ 0 8 x x 2 + 36 d x = 1 2 ∫ 36 100 u d u = 1 2 ∫ 36 100 u 1 2 d u = 1 2 u 3 2 3 2 36 100 = u 3 3 36 100

∫ 0 8 x x 2 + 36 d x = 1 3 100 3 - 36 3 = 1 3 10 6 - 6 6 = 1 3 10 3 - 6 3 = 784 3

A primeira já foi.

Passo 3

Agora precisamos resolver:

∫ 0 8 x 2 + 36 d x

Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão x 2 + 36 = x 2 + 6 2 , isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 6 tan ⁡ θ .

Façamos então a substituição:

x = 6 tan ⁡ θ d x = 6 sec 2 ⁡ θ d θ      

Dessa forma, ( x ) 2 = 36 tan 2 ⁡ θ     →     ( x ) 2 + 36 = 36 tan 2 ⁡ θ + 36 = 36 ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) = 36 sec 2 ⁡ θ .

Agora vamos trocar a variável da integral, mas, antes vamos obter os limites de integração na variável θ . Seja então:

x = 0 → 0 = 6 tan ⁡ θ →       θ = 0 x = 8 → 8 = 6 tan ⁡ θ →         θ = tan - 1 ⁡ 4 3

Substituindo tudo na integral e desenvolvendo, temos:

∫ 0 8 x 2 + 36 d x = ∫ 0 tan - 1 ⁡ 4 3 6 2 sec 2 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ d θ = 36 ∫ 0 tan - 1 ⁡ 4 3 sec 3 ⁡ θ d θ

Agora, para resolver essa integral, nós podemos utilizar integração por partes ou a fórmula de redução:

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x           para       n = 3

Ficamos então, com:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Dessa forma, utilizando a integral ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C , temos:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | 2 + C

Prontinho!

Agora vamos resolver a definida substituindo a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f . Dessa forma,

36 ∫ 0 tan - 1 ⁡ 4 3 sec 3 ⁡ θ d θ = 36 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 2 0 tan - 1 ⁡ 4 3

= 18 sec ⁡ tan - 1 ⁡ 4 3 tan ⁡ tan - 1 ⁡ 4 3 + ln ⁡ sec ⁡ tan - 1 ⁡ 4 3 + tan ⁡ tan - 1 ⁡ 4 3 - 0

Este é o resultado, mas vamos simplificar usando a relação:

sec ⁡ tan - 1 ⁡ x = x 2 + 1

Ficamos então com:

= 18 4 3 2 + 1 ⋅ 4 3 + ln ⁡ 4 3 2 + 1 + 4 3 - 0

= 18 25 9 ⋅ 4 3 + ln ⁡ 25 9 + 4 3 = 18 5 3 ⋅ 4 3 + ln ⁡ 5 3 + 4 3 = 18 20 9 + ln ⁡ 3 = 40 + 18 ln ⁡ 3

Pronto!

Passo 4

Agora nós substituímos tudo na fórmula do passo 1.

x - = ∫ 0 8 x x 2 + 36 d x ∫ 0 8 x 2 + 36 d x = 784 3 40 + 18 ln ⁡ 3 = 784 120 + 54 ln ⁡ 3 = 392 60 + 27 ln ⁡ 3

x - = 392 60 + 27 ln ⁡ 3   cm

Resposta

O centro de massa está a 392 60 + 27 ln ⁡ 3   cm do extremo esquerdo.

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