Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 36
Se o wronskiano de duas soluções quaisquer de é constante, o que isso implica sobre os coeficientes e ?
Passo 1
Para resolvermos, vamos analisar a forma diferencial do wronskiano, onde o mesmo sempre precisa satisfazer a seguinte condição:
Lembrando que o mesmo também pode ser encontrado através de um outro cálculo além do determinante, definido por:
A partir daí, iremos analisar o que acontece com os coeficientes e .
Passo 2
Bom, vamos lá! Se analisarmos a primeira equação mostrada no passo 1, veremos que se o wronskiano é constante , teremos que nossa equação ficará da forma
Para essa equação ser satisfeita, temos que necessariamente, desde que , , pois caso contrário a equação não será satisfeita e assim nosso wronskiano não seria válido pois o mesmo precisa satisfazer a equação diferencial de primeira ordem. Agora para o coeficiente , vamos analisar a segunda equação. Se observarmos ela, veremos que o único coeficiente que define o valor para é o , assim nosso pode ter qualquer valor.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)