Enunciado

Se o wronskiano de duas soluções quaisquer de y ' ' + p t ⋅ y ' + q t ⋅ y = 0 é constante, o que isso implica sobre os coeficientes p e q ?

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar a forma diferencial do wronskiano, onde o mesmo sempre precisa satisfazer a seguinte condição:

W ' + p t ⋅ W = 0

Lembrando que o mesmo também pode ser encontrado através de um outro cálculo além do determinante, definido por:

W = C ⋅ e - ∫ p t ⋅ d t

A partir daí, iremos analisar o que acontece com os coeficientes p e q .

Passo 2

Bom, vamos lá! Se analisarmos a primeira equação mostrada no passo 1, veremos que se o wronskiano é constante ( W = C ) , teremos que nossa equação ficará da forma

0 + p t ⋅ C = 0

Para essa equação ser satisfeita, temos que necessariamente, desde que C ≠ 0 , p t = 0 , pois caso contrário a equação não será satisfeita e assim nosso wronskiano não seria válido pois o mesmo precisa satisfazer a equação diferencial de primeira ordem. Agora para o coeficiente q t , vamos analisar a segunda equação. Se observarmos ela, veremos que o único coeficiente que define o valor para W é o p t , assim nosso q t pode ter qualquer valor.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas de 38 a 40, suponha que p e q são contínuas e que as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial y ' ' + p t y ' + q t y = 0 em um intervalo abertro I .Prove que, se y 1 e y 2
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