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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 39

Nos problemas de 38 a 40, suponha que p e q são contínuas e que as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial y ' ' + p t y ' + q t y = 0 em um intervalo abertro I .

Prove que, se y 1 e y 2 atingem um máximo ou um mínimo em um mesmo ponto em I , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

Passo 1

Para resolvermos, iremos utilizar a suposição de que y 1 e y 2 são soluções da EDO e após isso iremos desenvolver toda a solução através do Wronskiano. Vamos também pegar um ponto qualquer do conjunto I para aplicar em nossa solução para provarmos que não poderão formar um conjunto fundamental.

Passo 2

Bom, vamos lá! Primeiro vamos partir da suposição que nos é sugerida: de que y 1 e y 2 são soluções da nossa equação

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Assim, podemos calcular o wronskiano dessas duas soluções. Para isso, vamos supor também que y 1 e y 2 são diferenciáveis. Logo, temos que:

W y 1 ,   y 2 = f 1 t f 2 t f 1 ' t f 2 ' t = y 1 t y 2 t y 1 ' t y 2 ' t

Calculando o determinante de forma cruzada, teremos que

y 1 t ⋅ y 2 ' t - y 2 t ⋅ y 1 ' t = W y 1 ,   y 2 t

Agora, vamos supor que y 1 ' t e y 2 ' t formam um máximo ou um mínimo em t 0 . Logo, teremos que

y 1 ' t 0 = y 2 ' t 0 = 0

E nosso Wronskiano fica

W y 1 ,   y 2 t 0 = y 1 t 0 ⋅ y 2 ' t 0 - y 2 t 0 ⋅ y 1 ' t 0 =

= y 1 t 0 ⋅ 0 - y 2 t 0 ⋅ 0 = 0

Assim, teremos que nosso W y 1 , y 2 t 0 = 0 , e para ser um conjunto fundamental, temos que em nenhum ponto nosso wronskiano pode ser nulo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. 1 - x 2 ⋅ y ' ' - 2 ⋅ x ⋅ y ' + α ⋅ ( α + 1 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? x 2 ⋅ y ' ' - x ⋅ x + 2 ⋅ y ' + x
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + x y ' + y = 0
Uma equação linear de segunda ordem P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0 é dita autoadjunta se sua adjunta for igual à equação original. Mostre que uma condição necessária para esta equação ser autoadjunta
Considere a equação y ' ' - y ' - 2 y = 0 .Mostre que y 1 t = e - t e y 2 t = e 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.Sejam y 3 t = - 2 e 2 t , y 4 t = y 1 t + 2 y 2 t e y 5 t = 2 y 1 t - 2 y