Binômio de Newton

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Quando estudamos polinômios, aprendemos bastante sobre produtos notáveis e fatoração, e quem aprende bem isso vai se dar bem quando tiver que resolver equações do segundo grau, e ao invés de aplicar a fórmula de Bhaskara utilizar produtos notáveis, te garanto que te poupa muito trabalho! Mas nessa página estaremos interessados em entender como utilizar o método do binômio de newton para descobrir a expansão de binômios.

Vamos pensar na seguinte situação, imagine que precisamos descobrir a expansão do polinômio:

Primeira coisa que eu pensaria seria fazer chuveirinho para todos esses termos:

Mas ia dar um trabalho terrível! Então, para facilitar nossa vida podemos utilizar o conceito do binômio de newton. Ele serve exatamente para calcular potências de um binômio. No nosso exemplo estamos trabalhando com o binômio e com a potência . Então vamos ver como utilizaríamos o binômio de newton para achar o resultado de .

A fórmula do binômio de newton é a seguinte:

Então no nosso caso teríamos que calcular:

Onde cada seria um termo com a carinha da imagem ali em cima. Parece complicado, mas vamos ver nesse exemplo que o processo é bem simples. Vamos começar focando apenas no calculo das potências de e , ignorando as combinações:

Então esquecendo as combinações, repare que as potências formam uma "escadinha", enquanto uma vai subindo de um em um a outra vai descendo de um em um. Variando entre 0 até 5 no nesse caso.

Vamos agora calcular as combinações. Podemos lembrar que a fórmula de combinação é:

Fazendo as contas temos que:

Logo, nossa expansão de , é:

Que é o mesmo que:

E prontinho! O binômio de newton sempre pode ser utilizado nas situações que precisamos calcular potências de binômios.

PS: Se quiser ficar craque nessas combinações e não ter que ficar calculando elas o tempo todo, da uma conferida nessa página que fala sobre o triângulo de pascal, facilita muito o cálculo das combinações!

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