Inequação do Segundo Grau

Uma inequação do segundo grau é uma expressão que envolve uma desigualdade e algum tipo de variável elevada ao quadrado. Como a variável está elevada ao quadrado em um dos lados da desigualdade, consideramos um polinômio do segundo grau. Como se trata de uma expressão ela pode ter infinitas formas, mas pensar em uma qualquer:

$$x^2\ge 4$$

Para que serve?

As inequações muitas vezes são um problema para os estudantes, mas ao compreender o que ela está nos informando, podemos entender como interpretá-las da maneira correta. Elas surgem muitas vezes em Calculo, por exemplo. Quando queremos pintar uma área em um gráfico, que esteja contornada por funções. Vamos fazer um exemplo para deixar tudo bem claro!

Resolva as seguintes inequações:

1. $x\ge \frac{16}{x}$
2. $x^2-2x-8<0$

Vamos resolver primeiro o item $a),$a princípio da maneira que ela foi escrita não conseguimos nem identificar que ela é uma inequação do segundo grau, já que não identificamos de cara um expoente dois na expressão, mas podemos alterar algebricamente o item a), e reescrevê-lo na forma:

$$x^2\ge 16$$

Até aqui tudo tranquilo, mas é agora que as coisas começam a escapar do que estamos acostumados, vamos tentar ler essa equação e o que ela está dizendo para gente.

Se isso fosse uma igualdade nós saberíamos que existem dois valores que tornam essa igualdade verdade:

$$x^2=16$$

$$x_1=-4e{x}_2=4$$

Então essa igualdade tem duas respostas. Da mesma fora, nossa inequação vai ter duas respostas, mas na verdade, por ser um inequação, essas duas respostas vão formar um intervalo, ou seja, deixando bem claro para este exemplo, existem infinitos números que quando elevados ao quadrado dão maior que 16. Vamos parar e pensar:

$$Sex=4\to x^2=16\ge 16$$

$$Sex=5\to x^2=25\ge 16$$

$$Sex=-5\to x^2=25\ge 16$$

Só que como é impossível escrever todos os números que responderiam essa expressão, escrevemos a resposta da inequação no formato de intervalo:

$$x\ge \frac{16}{x}sex\le -4ex\ge 4$$

Ou seja, todos os valores que estão fora do intervalo de $[-4,4]$ são resposta para nossa inequação.

Resolvendo o item b), no final teremos o mesmo exercício, mas antes teremos que encontrar os valores que formam esse intervalo resolvendo um equação do segundo grau utilizando o método de Bhaskara, e vamos ficar bem atentos e observar que agora estamos lidando com um sinal de “menor que”, e não mais de “maior que”, o que vai mudar como interpretamos o nosso intervalo.

Então para o item b), começaríamos fingindo que estamos resolvendo uma igualdade, e faríamos como já sabemos fazer”:

$$x^2-2x-8=0$$

Resolvendo por produto notáveis, encontramos:

$$\left(x+2\right)\left(x-4\right)=0$$

Logo existem duas raízes que tornam essa equação 0, $x_1=-2e{x}_2=4$. A nossa inequação quer saber todos os valores que tornam a expressão menor que 0. Os valores que fazem isso verdade são os valores que estão dentro desse intervalo, e não mais o valores que estão fora, como encontramos no item a). Isso acontece exatamente por que mudamos os sinais da inequação. Temos portanto como resposta do item b):

$$x^2-2x-8<0se-2<x<4$$

Ou seja, se $x$ está contido no intervalo $\{-2,4\}$