Funções Trigonométricas – Parte 1
Produzido por Erick PinhoTeoria
Você se lembra daquelas relações trigonométricas? Então, vou relembrar contigo as principais,
O (teta) era um ângulo maroto de um triângulo retângulo, nós identificávamos a hipotenusa e os catetos e usando as fórmulas, nós fazíamos as continhas.
Mas o que acontece se transformarmos cada uma das relações que tínhamos anteriormente em funções? Ou seja, o que acontece à medida que variarmos o valor de x, para as seguintes funções?
Precisamos então entender como cada uma das funções vai se comportar e nesse sentido, precisamos falar sobre algo em especial: Periodicidade.
Periodicidade das funções trigonométricas
Antes de tudo: O que é uma função periódica?
Uma função periódica é uma função que se repete dentro de um intervalo no eixo .
Ainda não entendeu? Vamos ver um exemplo!
Observe o gráfico abaixo e veja como a função se repete:
Olhando pra esse gráfico, percebemos por exemplo que para , temos , e quando também temos . Agora, você consegue me dizer qual o próximo valor de nos retornará ?
Se você respondeu , parabéns! :D
Se não respondeu, fica tranquilo. Você vai entender agora...
Na verdade, a gente consegue fazer essa previsão porque encontramos um mesmo valor de repetido de 8 em 8 unidades de .
Então, assim como
e
Podemos prever que
Shooooow?
Então chamaremos esse 8 de PERÍODO!
Podemos ver isso no gráfico, o mesmo formato vai se repetindo de 8 em 8 unidades de x, ou seja, para construirmos o gráfico de uma função periódica basta construirmos o gráfico para um período da função, pois o resto do gráfico será a repetição dessa parte.
Formalizando um pouco mais, temos que uma função é chamada de periódica quando:
Para todo .
E o menor valor de que satisfaz a condição acima é chamado de período da função .
Já vimos que as relações trigonométricas são exploradas para um círculo, que chamamos de círculo trigonométrico. Isso explica por que essas funções são periódicas, já que à medida que vamos dando voltas no círculo, vamos voltando a encontrar os mesmos valores para o y.
Agora estamos preparados para falar de cada uma das funções trigonométricas.
Função Seno
A função seno será dada por
Como falamos anteriormente, os valores possíveis para o estarão dentro do ciclo trigonométrico, que está representado abaixo:
Vamos relembrar alguns detalhes importantes do círculo trigonométrico: o eixo é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos. Além disso, em radianos, uma volta completa no círculo vale e as medidas dos ângulos começam a partir do ponto vermelho e indo pra cima, no sentido anti-horário.
Com isso, podemos dizer que o seno terá valores extremos para ângulos de (ponto mais alto do círculo) e (ponto mais baixo do círculo), onde a função vale:
A função ficará oscilando entre esses valores, sendo que não há nenhuma indeterminação no intervalo e isso se repete indefinidamente.
Dessa forma, já podemos afirmar que o domínio da função seno (valores possíveis para o ) é o conjunto dos números reais, ou:
Já para a imagem (valores resultantes em , vimos que a função vai estar sempre entre -1 e 1. Isso significa que
Lembrando que teremos isso quando .
Mas e se tivermos
Perceba que, nesse caso, todos os valores de que tínhamos anteriormente vão ser multiplicados por 2, isso significa que agora nossa função terá valores máximo e mínimos em , respectivamente.
Isso vai acontecer sempre que tivermos a função seno multiplicada por uma constante, então podemos generalizar:
Para .
Ah, mas por que precisa ser diferente de zero?
Simplesmente porque zero multiplicado por qualquer coisa será igual a zero e nesse caso, a função valeria zero para qualquer valor de .
Para esboçar o gráfico da função seno, vamos usar alguns valores conhecidos da função usando os chamados “ângulos notáveis” e algumas relações do círculo trigonométrico. Juntei tudo nessa tabelinha abaixo:
Agora, marcando esses pontos no gráfico e ligando para formar nossa curva, teremos essa belezinha aqui
E um fato extremamente interessante é que essa curva continua se repetindo indefinidamente, à medida que aumentamos ou diminuímos os valores de x:
Obs: Esse de qualquer função trigonométrica SEMPRE será dado em radianos, assim como fazemos no círculo trigonométrico. Não se esqueça disso!!!
Observe que o gráfico se repete de em o que isso significa?
O PERÍODO DA FUNÇÃO SENO É !!!
Mas qual será o período de uma função como essa daqui:
Para achar o período da função, pegamos o argumento, que é tudo que fica dentro do seno, substituímos o pelo que é a letra que representa o período e igualamos isso a , que é o período da função . Olha só:
Vamos comparar os gráficos!
Repara que a curva azul, que representa , se repete duas vezes no intervalo que a vermelha, que representa repete uma só. Isso acontece porque o período de é a metade do período de !
Mas e se tivéssemos
Repetindo aquele procedimento, temos
E quando temos números somando ou subtraindo dentro do seno, podemos ignorar esse valor! Igualamos a só a parte que multiplica . Então,
O termo que soma apenas desloca a função um pouquinho pro lado, mas o período é o mesmo. Vamos dar uma olhada no gráfico!
Função Cosseno
A função cosseno é dada por:
Ela funciona de um jeito MUITO parecido com a função seno, então muito do que vimos até aqui podemos estender pra função cosseno, por exemplo: o domínio da função cosseno também é dado pelo conjunto dos números reais:
E, assim como o seno, os valores que saem da função também oscilam entre , por isso a imagem também é:
E quando tivermos uma constante multiplicando a função, ficamos com:
O gráfico dessa belezinha será igual ao do seno, mas um pouco deslocado e nós montamos ele da mesma forma que fizemos no da função seno, mas agora usando os valores que temos para o cosseno. Observe que temos os mesmos números aparecendo nas duas funções, só que em lugares diferentes:
Marcando esses pontos num gráfico, temos
E se expandirmos a construção desse gráfico para a esquerda e direita, temos
A função cosseno também é periódica, se repetindo a cada , que é a medida de uma volta completa no círculo trigonométrico, assim como o seno! E da mesma forma, se o argumento da função cosseno mudar, a gente pode calcular o período fazendo o mesmo procedimento: