Funções Trigonométricas – Parte 1

Produzido por Erick Pinho
Ver Todos os Exercícios

Teoria

Você se lembra daquelas relações trigonométricas? Então, vou relembrar contigo as principais,

s e n θ           e           c o s θ

O θ (teta) era um ângulo maroto de um triângulo retângulo, nós identificávamos a hipotenusa e os catetos e usando as fórmulas, nós fazíamos as continhas.

Mas o que acontece se transformarmos cada uma das relações que tínhamos anteriormente em funções? Ou seja, o que acontece à medida que variarmos o valor de x, para as seguintes funções?

f x = sen ⁡ ( x )                       g x = cos ⁡ ( x )

Precisamos então entender como cada uma das funções vai se comportar e nesse sentido, precisamos falar sobre algo em especial: Periodicidade.

Periodicidade das funções trigonométricas

Antes de tudo: O que é uma função periódica?

Uma função periódica é uma função que se repete dentro de um intervalo no eixo x .

Ainda não entendeu? Vamos ver um exemplo!

Observe o gráfico abaixo e veja como a função se repete:

Olhando pra esse gráfico, percebemos por exemplo que para x = 2 , temos y = 3 , e quando x = 10 , também temos y = 3 . Agora, você consegue me dizer qual o próximo valor de x nos retornará y = 3 ?

Se você respondeu x = 18 , parabéns! :D

Se não respondeu, fica tranquilo. Você vai entender agora...

Na verdade, a gente consegue fazer essa previsão porque encontramos um mesmo valor de y repetido de 8 em 8 unidades de x .

Então, assim como

f 2 = 3 e f 2 + 8 = 3   →     f 10 = 3

Podemos prever que

f 10 + 8 = 3 → f 18 = 3

Shooooow?

Então chamaremos esse 8 de PERÍODO!

Podemos ver isso no gráfico, o mesmo formato vai se repetindo de 8 em 8 unidades de x, ou seja, para construirmos o gráfico de uma função periódica basta construirmos o gráfico para um período da função, pois o resto do gráfico será a repetição dessa parte.

Formalizando um pouco mais, temos que uma função é chamada de periódica quando:

f x + T = f ( x )

Para todo x .

E o menor valor de T que satisfaz a condição acima é chamado de período da função f .

Já vimos que as relações trigonométricas são exploradas para um círculo, que chamamos de círculo trigonométrico. Isso explica por que essas funções são periódicas, já que à medida que vamos dando voltas no círculo, vamos voltando a encontrar os mesmos valores para o y.

Agora estamos preparados para falar de cada uma das funções trigonométricas.

Função Seno

A função seno será dada por

f x = sen ⁡ ( x )

Como falamos anteriormente, os valores possíveis para o x estarão dentro do ciclo trigonométrico, que está representado abaixo:

Vamos relembrar alguns detalhes importantes do círculo trigonométrico: o eixo y é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos. Além disso, em radianos, uma volta completa no círculo vale 2 π e as medidas dos ângulos começam a partir do ponto vermelho e indo pra cima, no sentido anti-horário.

Com isso, podemos dizer que o seno terá valores extremos para ângulos de π 2 (ponto mais alto do círculo) e 3 π 2 (ponto mais baixo do círculo), onde a função vale:

s e n π 2 = 1           e           s e n 3 π 2 = - 1 .

A função ficará oscilando entre esses valores, sendo que não há nenhuma indeterminação no intervalo e isso se repete indefinidamente.

Dessa forma, já podemos afirmar que o domínio da função seno (valores possíveis para o x ) é o conjunto dos números reais, ou: D f = R

Já para a imagem (valores resultantes em y ) , vimos que a função vai estar sempre entre -1 e 1. Isso significa que

I m f = - 1,1 = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

Lembrando que teremos isso quando f x = s e n ( x ) .

Mas e se tivermos

f x = 2   .   s e n ( x )

Perceba que, nesse caso, todos os valores de y que tínhamos anteriormente vão ser multiplicados por 2, isso significa que agora nossa função terá valores máximo e mínimos em 2   e - 2 , respectivamente.

Isso vai acontecer sempre que tivermos a função seno multiplicada por uma constante, então podemos generalizar:

f x = a ⋅ sen ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

Para a ≠ 0 .

Ah, mas por que precisa ser diferente de zero?

Simplesmente porque zero multiplicado por qualquer coisa será igual a zero e nesse caso, a função valeria zero para qualquer valor de x .

Para esboçar o gráfico da função seno, vamos usar alguns valores conhecidos da função usando os chamados “ângulos notáveis” e algumas relações do círculo trigonométrico. Juntei tudo nessa tabelinha abaixo:

Agora, marcando esses pontos no gráfico e ligando para formar nossa curva, teremos essa belezinha aqui

E um fato extremamente interessante é que essa curva continua se repetindo indefinidamente, à medida que aumentamos ou diminuímos os valores de x:

Obs: Esse x de qualquer função trigonométrica SEMPRE será dado em radianos, assim como fazemos no círculo trigonométrico. Não se esqueça disso!!!

Observe que o gráfico se repete de 2 π em 2 π ,   o que isso significa?

O PERÍODO DA FUNÇÃO SENO É 2 π !!!

Mas qual será o período de uma função como essa daqui:

f x = sen ⁡ 2 x

Para achar o período da função, pegamos o argumento, que é tudo que fica dentro do seno, substituímos o x pelo T que é a letra que representa o período e igualamos isso a 2 π , que é o período da função s e n ( x ) . Olha só:

2 T = 2 π → T = π

Vamos comparar os gráficos!

Repara que a curva azul, que representa sen ⁡ ( 2 x ) , se repete duas vezes no intervalo que a vermelha, que representa sen ⁡ x , repete uma só. Isso acontece porque o período de s e n ⁡ ( 2 x ) é a metade do período de sen ⁡ x !

Mas e se tivéssemos

f x = s e n x 3

Repetindo aquele procedimento, temos

T 3 = 2 π → T = 3 × 2 π = 6 π

E quando temos números somando ou subtraindo dentro do seno, podemos ignorar esse valor! Igualamos a 2 π só a parte que multiplica x . Então,

sen ⁡ ( 2 x + π ) ⟹ 2 T = 2 π → T = π

O termo que soma apenas desloca a função um pouquinho pro lado, mas o período é o mesmo. Vamos dar uma olhada no gráfico!

Função Cosseno

A função cosseno é dada por:

f x = c o s ( x )

Ela funciona de um jeito MUITO parecido com a função seno, então muito do que vimos até aqui podemos estender pra função cosseno, por exemplo: o domínio da função cosseno também é dado pelo conjunto dos números reais:

D f = R

E, assim como o seno, os valores que saem da função também oscilam entre [ - 1,1 ] , por isso a imagem também é:

I m f = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

E quando tivermos uma constante multiplicando a função, ficamos com:

f x = a ⋅ cos ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

O gráfico dessa belezinha será igual ao do seno, mas um pouco deslocado e nós montamos ele da mesma forma que fizemos no da função seno, mas agora usando os valores que temos para o cosseno. Observe que temos os mesmos números aparecendo nas duas funções, só que em lugares diferentes:

Marcando esses pontos num gráfico, temos

E se expandirmos a construção desse gráfico para a esquerda e direita, temos

A função cosseno também é periódica, se repetindo a cada 2 π , que é a medida de uma volta completa no círculo trigonométrico, assim como o seno! E da mesma forma, se o argumento da função cosseno mudar, a gente pode calcular o período fazendo o mesmo procedimento:

f x = cos ⁡ 2 x

2 T = 2 π → T = π

Função Seno

Função Cosseno

Exercícios de Livros Relacionados