Teoria

O logaritmo

FALAAAAAAA AÍ, TUDO BEM COM VOCÊ?

Se a resposta for não, isso pode estar intimamente associado à palavra LOGARITMO.

Se você tem trauma com o famoso l o g , muito provavelmente você carrega ele desde a época do Ensino Médio. Mas relaxa, o logaritmo não precisa ser esse bicho papão que parece.

O logaritmo sempre está associado a um expoente! Então vamos falar um pouquinho dos expoentes, aqui segue um exemplo:

3 2 = 3 × 3 = 9

Neste exemplo, nós temos uma base 3 que está elevada ao quadrado, ou seja, nosso expoente é 2 . Para fazer essa conta, multiplicamos o 3 por ele mesmo duas vezes e chegamos ao resultado, que é o 9 .

Agora eu vou mudar um pouco a pergunta. O que acontece se eu quiser saber quantas vezes o número 3 (base) foi multiplicado até chegar a 9 ? Para representar isso, eu vou usar um logaritmo. Desta forma, teremos

log 3 ⁡ 9

E resolvendo, encontramos o 2 , uma vez que 3 2 = 9 .

Resumindo, quero que você sempre pense que LOGARITMO = EXPOENTE.

A função logarítmica

Então a pergunta que sempre vamos fazer quando surgir um logarítmo é:

“A base b elevada a qual número tem como resultado o   x ?"

E a função logarítmica é justamente a representação dessa ideia e tem como fórmula geral:

f ( x ) = log b ⁡ x

Onde b é a base, o   x nós chamamos de logaritmando ou de argumento da função logarítmica e o resultado é o logaritmo em si, que equivale sempre ao expoente em uma função exponencial.

Achando o x na função

Imagine que tenhamos a função f x = log 2 ⁡ ( 2 x ) e queremos saber o valor de x para qual f ( x ) = 16 . Igualando essas duas informações, temos:

log 2 ⁡ ( 2 x ) = 16  

Vamos transformar esse problema em um exponencial! Então a pergunta que faríamos para o logaritmo é: “A base 2 elevada a qual número tem como resultado   2 x ?" E como da igualdade acima sabemos que o resultado é 16 , temos:

2 16 = 2 x  

Isolando o x ficamos com,

x = 2 16 2

Lembrando que em divisão de exponenciais com a mesma base, a gente repete a base e substrai os expoentes!

x = 2 16 2 = 2 ( 16 - 1 ) = 2 15

Logarítmos Especiais

O logaritmo natural ou niperiano é o log de base e , que é o número de Euler. O que você precisa saber dele agorá é que ele recebe uma notação especial de l n , podendo ser:

f x = ln ⁡ x

    g x = ln ⁡ x 2 + 1      

h ( x ) = l n ⁡ ( 58 x + 1 )

Dentre infinitas outras possibilidades.

Então se você vir um ln por aí, já fica sabendo que temos uma função logarítmica!

Além disso, quando a base da função logarítmica for 10 , você não precisa escrever! Então:

log ⁡ x = log 10 ⁡ x

log ⁡ ( 2 x - 1 ) = log 10 ⁡ ( 2 x - 1 )

E se você encontrar um logaritmo sem base, não precisa se desesperar! Lembra que tem um 10 escondido ali!

Gráfico da função logarítmica

O gráfico da função logarítmica é um espelhamento do gráfico da função exponencial, como vemos abaixo no gráfico de f ( x ) = log 2 ⁡ x   , que é o gráfico da função f x = 2 x espelhado em relação à linha tracejada:

Podemos começar a análise do gráfico vendo que a curva toca o eixo x quando x = 1 , o que indica que o valor da função ali é igual a 0 . Isso faz sentido, uma vez que:

Qual expoente leva qualquer número a ter como resultado x = 1 ? 0 !

Já que b 0 = 1 , para qualquer valor de b .

Desse ponto, indo para a esquerda, vemos que conforme o x se aproxima de zero, a função decresce cada vez mais.

Podemos entender, pensando nos exponenciais correspondentes, onde temos expoentes cada vez mais negativos, que resultam em valores cada vez mais próximos de zero, por exemplo:

2 - 1 = 1 2 1 = 0,5

2 - 2 = 1 2 2 = 0,25

2 - 3 = 1 2 3 = 0,125

E daí por diante!

Voltando ao x = 1 , só que agora seguindo para a direita, vemos que quanto mais o valor de x cresce, mais a função cresce.

Imagem e Domínio

Reparou que a curva que representa a função f x = log 2 ⁡ x não está presente na região onde o x possui valores negativos?

Isso acontece porque nossa base precisa sempre ser um número positivo e não dá para elevar um número positivo a alguma coisa e encontrar um resultado negativo disso. Então, restringimos o domínio da função logarítmica para valores positivos dentro do log.

Ou seja, para f ( x ) = log 2 ⁡ x   , nosso x precisa ser sempre um valor real positivo, que escrevendo em matematiquês, fica:

D ( f ) = x ∈ R   | x > 0

Já para f x = log 2 ⁡ ( 2 x - 1 ) , novamente precisamos que os valores dentro do log sejam positivos, portanto:

2 x - 1 > 0

2 x > 1

x > 1 2

O domínio dessa função será composto então pelos valores de x reais e maiores que 1 / 2 , que escrevendo mais uma vez em matematiquês, fica:

D ( f ) = x ∈ R   | x > 1 / 2

Já para a imagem da função, precisamos ver quais são os valores que temos como resultado da função, ou seja, vamos olhar pro y .

Próximo ao x = 0 vimos que a função decresce infinitamente e o y pode assumir qualquer valor negativo, depois conforme o x cresce, o y também cresce infinitamente podendo assumir qualquer valor positivo. Então, não há limites pra imagem da função logarítmica, que pode assumir qualquer valor real:

I m ( f ) = R

E um detalhe importante é que a imagem não vai mudar mesmo que a gente tenha uma função daquelas diferentonas

f x = log 2 ⁡ 2 x - 1

Por hoje é só!

A função logarítmica

Achando o x na função

Logarítmos Especiais

Gráfico da função logarítmica

Imagem e Domínio

Exercícios de Livros Relacionados