Função Logarítmica
Teoria
O logaritmo
FALAAAAAAA AÍ, TUDO BEM COM VOCÊ?
Se a resposta for não, isso pode estar intimamente associado à palavra LOGARITMO.
Se você tem trauma com o famoso , muito provavelmente você carrega ele desde a época do Ensino Médio. Mas relaxa, o logaritmo não precisa ser esse bicho papão que parece.
O logaritmo sempre está associado a um expoente! Então vamos falar um pouquinho dos expoentes, aqui segue um exemplo:
Neste exemplo, nós temos uma base que está elevada ao quadrado, ou seja, nosso expoente é . Para fazer essa conta, multiplicamos o por ele mesmo duas vezes e chegamos ao resultado, que é o .
Agora eu vou mudar um pouco a pergunta. O que acontece se eu quiser saber quantas vezes o número (base) foi multiplicado até chegar a ? Para representar isso, eu vou usar um logaritmo. Desta forma, teremos
E resolvendo, encontramos o , uma vez que .
Resumindo, quero que você sempre pense que LOGARITMO = EXPOENTE.
A função logarítmica
Então a pergunta que sempre vamos fazer quando surgir um logarítmo é:
“A base elevada a qual número tem como resultado o?"
E a função logarítmica é justamente a representação dessa ideia e tem como fórmula geral:
Onde é a base, o nós chamamos de logaritmando ou de argumento da função logarítmica e o resultado é o logaritmo em si, que equivale sempre ao expoente em uma função exponencial.
Achando o na função
Imagine que tenhamos a função e queremos saber o valor de para qual . Igualando essas duas informações, temos:
Vamos transformar esse problema em um exponencial! Então a pergunta que faríamos para o logaritmo é: “A base elevada a qual número tem como resultado?" E como da igualdade acima sabemos que o resultado é , temos:
Isolando o ficamos com,
Lembrando que em divisão de exponenciais com a mesma base, a gente repete a base e substrai os expoentes!
Logarítmos Especiais
O logaritmo natural ou niperiano é o log de base , que é o número de Euler. O que você precisa saber dele agorá é que ele recebe uma notação especial de , podendo ser:
Dentre infinitas outras possibilidades.
Então se você vir um ln por aí, já fica sabendo que temos uma função logarítmica!
Além disso, quando a base da função logarítmica for , você não precisa escrever! Então:
E se você encontrar um logaritmo sem base, não precisa se desesperar! Lembra que tem um escondido ali!
Gráfico da função logarítmica
O gráfico da função logarítmica é um espelhamento do gráfico da função exponencial, como vemos abaixo no gráfico de , que é o gráfico da função espelhado em relação à linha tracejada:
Podemos começar a análise do gráfico vendo que a curva toca o eixo quando , o que indica que o valor da função ali é igual a . Isso faz sentido, uma vez que:
Qual expoente leva qualquer número a ter como resultado ? !
Já que , para qualquer valor de .
Desse ponto, indo para a esquerda, vemos que conforme o se aproxima de zero, a função decresce cada vez mais.
Podemos entender, pensando nos exponenciais correspondentes, onde temos expoentes cada vez mais negativos, que resultam em valores cada vez mais próximos de zero, por exemplo:
E daí por diante!
Voltando ao , só que agora seguindo para a direita, vemos que quanto mais o valor de cresce, mais a função cresce.
Imagem e Domínio
Reparou que a curva que representa a função não está presente na região onde o possui valores negativos?
Isso acontece porque nossa base precisa sempre ser um número positivo e não dá para elevar um número positivo a alguma coisa e encontrar um resultado negativo disso. Então, restringimos o domínio da função logarítmica para valores positivos dentro do log.
Ou seja, para , nosso precisa ser sempre um valor real positivo, que escrevendo em matematiquês, fica:
Já para , novamente precisamos que os valores dentro do log sejam positivos, portanto:
O domínio dessa função será composto então pelos valores de reais e maiores que , que escrevendo mais uma vez em matematiquês, fica:
Já para a imagem da função, precisamos ver quais são os valores que temos como resultado da função, ou seja, vamos olhar pro .
Próximo ao vimos que a função decresce infinitamente e o pode assumir qualquer valor negativo, depois conforme o cresce, o também cresce infinitamente podendo assumir qualquer valor positivo. Então, não há limites pra imagem da função logarítmica, que pode assumir qualquer valor real:
E um detalhe importante é que a imagem não vai mudar mesmo que a gente tenha uma função daquelas diferentonas
Por hoje é só!
A função logarítmica
Achando o x na função
Logarítmos Especiais
Gráfico da função logarítmica
Imagem e Domínio
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Considere a função logarítmica
Encontre o valor de tal que .
Passo 1
Vamos lááá!! Queremos encontrar o valor de de forma que , certo? Como podemos encontrar esse valor?
Lembra que o logarítmo sempre está associado a um expoente?! Então, para resolver esse problema, vamos transformá-lo em um problema exponencial!!
Temos a carinha da nossa função
E assim, a pergunta que faríamos para o logaritmo é: “A base elevada a qual número tem como resultado ?" E como da igualdade acima sabemos que o resultado é , temos:
Beleza?!
Passo 2
Agora basta isolarmos o para encontrar o seu valor!
Assim, dividindo ambos oa lados da equação por , temos
Aqui é importante lembrar que divisão de exponenciais com a mesma base, a gente repete a base e subtrai os expoentes
Ou seja, o valor de de forma que é
Beleza?!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine o domínio e a imagem da função logarítmica abaixo
Passo 1
Fala Aíí! Queremos determonar o domínio da função , certo?!
Antes de qualquer coisa, precisamos lembrar que os valores de dentro do precisam ser positivos. Beleza?! Vamos utilizar essa informação para encontrar o domínio da nossa função!
Passo 2
Como os valores do precisam ser positivos,
Agora basta isolarmos o
Dividindo ambos os lados da inequação por , temos
Ou seja, o domínio dessa função será composto então pelos valores de x reais e maiores que , que escrevendo mais uma vez em matematiquês, fica:
Beleza?!
Passo 3
Já para a imagem da função, não há limites pra imagem da função logarítmica, que pode assumir qualquer valor real. Assim,
Beleza?!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
O domínio e a imagem da função logarítmica abaixo
São, respectivamente:
- e
- e
- e
- e
Passo 1
Vamos lá!!! Queremos determonar o domínio da função certo?!
Antes de qualquer coisa, precisamos lembrar que os valores de dentro do precisam ser positivos. Beleza?! Vamos utilizar essa informação para encontrar o domínio da nossa função!
Passo 2
Como os valores do precisam ser positivos,
Agora basta isolarmos o
E assim,
Ou seja, o domínio dessa função será composto então pelos valores de reais e maiores que , que escrevendo mais uma vez em matematiquês, fica:
Beleza?!
Passo 3
Já para a imagem da função, não há limites pra imagem da função logarítmica, que pode assumir qualquer valor real. Assim,
Beleza?!
Resposta
Letra A
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Considere a função logarítmica abaixo
O valor de é:
Passo 1
OPA!! Queremos determinar o valor de , certo?! Como faremos isso?
Podemos começar substituindo o valor de na nossa função
Assim,
Ou seja,
Agora precisamos calcular o logarítmo!!
Passo 2
Lembra que o logarítmo sempre está associado a um expoente?! Então, para resolver esse problema, vamos transformá-lo em um problema exponencial!!
Temos a carinha da nossa função
E assim, a pergunta que faríamos para o logaritmo é: “A base elevada a qual número tem como resultado ?”
Assim, conseguimos concluir que o valor de para que a igualdade abaixo seja válida é
Beleza?!
Logo,
Resposta
Letra B
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Esboce o gráfico da função abaixo
Passo 1
Vamos láá!! Queremos esboçar o gráfico da função
Certo?! Por onde podemos começar?
Primeira passo é verificar se a função será crescente ou decrescente! Como fazemos isso? Primeiro precisamos lembrar que uma função logarítmica tem a carinha
Onde é a base. Assim, se a base for maior que a função será crescente. Se a base for maior que zero e menor que a função será decrescente.
Beleza?!
Passo 2
Aqui a nossa base
Ou seja, a nossa função será crescente.
Passo 3
Agora para montar o esboço da função, podemos escolher alguns valores para para termos os valores de e montar o gráfico.
Para , teremos que
Como resolver esse logarítmo? Lembra que o logarítmo sempre está associado a um expoente?! Então, para resolver esse problema, vamos transformá-lo em um problema exponencial!!
Podemos fazer a seguinte pergunta para o logaritmo: “A base elevada a qual número tem como resultado ?”
O valor que satisfaz essa igualdade acima é o , certo?! Assim,
Podemos começar a montar nossa tabelinha:
Para , teremos que
Utilizando o mesmo raciocínio anterior, a base elevada a 1 da o número . Ou seja,
Colocando esse valor na nossa tabela
Para , teremos
Utilizando o mesmo raciocínio, chegamos ao valor
Incluindo esse valor na tabela, temos
Pra finalizar, para
E assim,
Passo 4
Com os valores que calculamos já conseguimos esboçar o gráfico da função .
Levando em consideração que a função será crescente e substituindo os valores da tabela
Teremos
Beleza?!
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração própria
Determine o domínio da função abaixo
Passo 1
Para determinar o domínio, vamos começar identificando onde podem aparecer os problemas. Temos uma raiz aí no meio, então nossa primeira restrição é que a parada dentro da raiz deve ser positiva.
Passo 2
Temos um ali também, lembra como faz isso? O cara dentro do deve ser maior que zero
Repara que não coloquei isso porque o ou nunca podem ter alguém dentro deles igual a .
Passo 3
Temos o último problema que é a fração, o seu denominador deve ser diferente de , vamos achar quais valores ele zera
Resolvendo a equação de Bháskara vamos achar
Então essa nossa ultima restrição é
Passo 4
Vamos juntar todas as restrições aqui
Repara que as duas últimas são inúteis, porque elas já estão incluídas na segunda restrição, afinal já garante que ele é diferente de e .
Juntando tudo fica então
Passo 5
Escrevendo isso daquela forma bonitinha, primeiro colocamos
Resposta
Exercício Resolvido #7
Elaboração Própria
O valor do imposto pago por uma certa empresa, com em milhares, em função do tempo, ocorre segundo a função
Determine o valor do imposto pago daqui a 4 anos e o tempo no qual o imposto pago é 6mil.
Passo 1
Aqui basta substituir o valor do tempo anos:
Como
Passo 2
Agora vamos calcular o tempo, para o imposto ser pago quando
anos
Resposta
anos
Exercício Resolvido #8
IFPE 2018 (Adaptada)
Os alunos do curso de Biologia de uma determinada faculdade observaram que o número de flores em uma árvore X segue o modelo matemático onde é a quantidade de flores após h horas de observação. Após quanto tempo de observação esta árvore estará com apenas 10 flores?
a) 6 horas.
b) 25 horas.
c) 20 horas.
d) 21 horas.
e) 64 horas.
Passo 1
Logo no início da questão, ele nos deu a função logarítmica que vamos utilizar para fazer a questão:
O enunciado nos pergunta em quantas horas ele vai produzir 10 flores, em outras palavras, queremos
Show?
Passo 2
Fazendo essa igualdade, teremos o seguinte:
Ou sejaaaaa
Ou seja, a resposta será: Letra D
Resposta
Letra D
Exercício Resolvido #9
Insper 2009
Considere a função real f, dada pela lei
a) Desenhe o gráfico de
b) Calcule k, de modo que se tenha Se necessário, utilize a aproximação:
Passo 1
Primeiramente, vamos falar a respeito do domínio da nossa função, sabemos pela condição de existência que , Show?
Agora, vamos analisar a melhor a nossa lei de formação, observa ela um pouquinho:
Acho que você concorda comigo que a gente precisa mexer um pouco nela, rs. Afinal, está difícil entender o que faremos... A pergunta que não quer calar é: O que vamos fazer?
Lembra daquelas propriedades que a gente aplicava em logaritmos?
Observe a mágica acontecer:
Portanto, o gráfico da função f, NESSE CASO, será o mesmo de uma função do 1º grau!!!
Nosso gráfico vai ficar assim:
Muita atenção as restrições de domínio que vimos acima: . Por isso tanto no x igual a zero quanto no x igual a um, temos a “bolinha aberta”.
Shooow?
Passo 2
Agora vamos a parte b)
No item a) descobrimos que
Então, por consequência
Portanto, podemos escrever
Da seguinte forma:
Como queremos encontrar um valor que está no expoente, vamos aplicar um logaritmo de base 10 dos dois lados (Lembra? Logaritmo=Expoente).
Sendo que
Com isso temos:
O enunciado disse que, então:
Maneiro, né? =D
Resposta
a)
b)
Exercício Resolvido #10
EsPCEx – AMAN - 2018 (Adaptada)
A curva do gráfico abaixo representa a função
Qual a área do retângulo ABCD?
Passo 1
Beleza, sempre que você for resolver uma questão, algo importante é pensar o que você quer encontrar e qual a estratégia você vai usar para resolvê-la. No nosso caso, queremos encontrar a área do retângulo ABCD.
O que precisamos para encontrar a área?
No entanto, contudo, todavia... Para encontrarmos o valor da base e da altura necessitamos descobrir pelo menos as coordenadas de três dos 4 vértices.
Então essa é a primeira coisa que vamos fazer. Partiu?
Passo 2
Já sabemos que a base tem um tamanho 6, falta acharmos o tamanho da altura. Para isso, vamos descobrir a coordenada dos vértices C e A.
Vértice C
Vamos substituir o x na lei de formação para descobrirmos o valor de y. Nossa lei de formação é dada por:
Substituindo, ficamos assim:
Ou seja,
Vértice A
Vamos descobrir agora o , pois eles serão iguais. Vamos fazer isso porque caso tentássemos fazer igual fizemos acima, encontraríamos as mesmas coordenadas do vértice C. Vamos nessa:
Substituindo, ficamos assim:
Ou seja,
E o valor de é igual ao de . O nosso gráfico vai ficar assim, então:
Ou seja, nossa altura será igual a
Passo 3
Nosso retângulo vai ficar com as seguintes dimensões:
Agora é tranquilo calcularmos a área, vai ficar assim ó: