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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.3 - Ex. 3a

Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:

sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

Passo 1

Sabemos que tg^2 x + 1 = sec^2 x

Assim:

(2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = (2 tg (x)/(2))/(sec^2 (x)/(2))

Passo 2

Se tg x = (sen x)/(cos x) e sec x = (1)/(cos x) então:

(2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = (2 ((sen (x)/(2))/(cos (x)/(2))))/(((1)/(cos (x)/(2)))^2)

(2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = 2 ((sen (x)/(2))/(cos (x)/(2))) ((cos (x)/(2))/(1))^2

(2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = 2 ((sen (x)/(2))/(cos (x)/(2))) ((cos^2 (x)/(2))/(1))

(2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = 2 (sen (x)/(2)) (cos (x)/(2))

(2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = (sen (x)/(2)) (cos (x)/(2)) + (sen (x)/(2)) (cos (x)/(2))

Passo 3

Temos a relação do seno da soma que nos diz que

sen (a + b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a)

Tomando a = b = (x)/(2) :

(2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = sen ((x)/(2) + (x)/(2))

(2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2)) = sen (x)

Assim, mostramos que

sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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