Teoria

FAAAAAALA AÍ, ANJINHO DO RESPONDE AÍ!

Hoje vamos falar um pouco de fatoração e produtos notáveis. Mas o que que é isso?

Fatoração é uma técnica que troca uma soma ou subtração de termos por produtos, um jeito de reescrever expressões matemáticas que vai ser super útil pra você em vários momentos!

Existem alguns casos principais que precisamos conhecer. Então vamos lá!

Fator comum em evidência

Dá uma olhada nessa soma

2 x + 2 y

Repara que cada parcela da soma tem um 2 certo? Então, elas possuem o 2 como fator comum.

Beleza, agora que identificamos isso, vamos colocar o 2 em evidência para deixar essa soma na sua forma fatorada:

2 x + 2 y = 2 x + y

Como colocamos o 2 pra fora dos parênteses, temos que dividir os termos de dentro também pelo 2 e por isso sobra só o x e o y .

“Ah, mas eu tenho medo de estar fazendo errado!”

Ora, para você saber se está no caminho certo, basta realizar a multiplicação e checar se você chega no mesmo lugar de onde partiu:

2 x + y = 2 x + 2 y

Perfeito! Vamos seguir.

Além de números, também podemos fazer o mesmo com variáveis, por exemplo:

x 3 - 2 x 2 + 5 x

Repare que todos os termos da expressão têm x , então podemos colocá-lo em evidência:

x   ( x 2 - 2 x + 5 )

Mais uma vez, dividimos todos os termos dentro dos parênteses pelo que colocamos pra fora, no caso o x . Com isso, as potências de x perderam um grau e, do 5 x , sobrou só o 5 .

Agrupamento

Agora dá uma olhada nessa soma:

2 x + 2 y + x 2 + x y

Não temos um fator comum pra todos os termos, mas se olharmos só os dois primeiros termos, podemos fatorar como já vimos:

2 x + 2 y = 2 x + y

Já os outros dois termos que sobram, têm o x em comum, então podemos fatorá-los também:

x 2 + x y = x x + y

Agora, vamos reescrever essa soma:

2 x + 2 y + x 2 + x y = 2 x + y + x x + y

Repara que agora as duas partes têm o mesmo termo entre parênteses, o ( x + y ) .

Podemos colocar esse ( x + y ) também em evidência:

2 x + y + x x + y = x + y 2 + x

Dessa forma, surgem outros parênteses com a soma dos termos que estavam multiplicando o nosso fator comum, o 2 e o x .

Isso é o agrupamento, que é basicamente colocar em evidência uma expressão com mais de um termo, no caso, o ( x + y ) .

Diferença de quadrados

Agora vamos falar dos produtos notáveis, que são algumas multiplicações famosas e que tem utilidade em diversos lugares diferentes, por isso, vou apresentá-las e mostrar como funcionam.

A primeira delas será a diferença de quadrados. Vai vir algo tipo assim:

x 2 - 9

Tá vendo que temos dois termos ao quadrado e uma subtração entre eles? Podemos reescrever, pra ficar mais fácil de perceber:

x 2 - 3 2

Pois bem, por isso chamamos de diferença de quadrados!

E então a forma fatorada será:

x 2 - 3 2 = x - 3 ( x + 3 )

Tá vendo como a nossa diferença de quadrados virou o produto da soma pela diferença dos termos que estavam ao quadrado antes? De uma forma mais geral, podemos representar isso como:

x 2 - a 2 = ( x - a ) ( x + a )

Isso quer dizer que sempre que você encontrar uma expressão que se encaixe nessa fórmula geral, seja como diferença de quadrados ou como o produto da soma pela diferença, você pode usar essa relação pra reescrever a expressão.

Olha esse exemplo:

- x + 2 x + 2

“Ah, pronto! Eu estava crente que já havia entendido e você vem com essa!”

Relaxa, coloquei esse exemplo pra mostrar que as vezes a expressão não vem prontinha pra ser encaixada no nosso produto notável, mas isso não quer dizer que ele não possa ser usado.

Vamos reescrever a expressão, trocando o 2 e o x de lugar dentro dos parênteses:

2 - x 2 + x

Agora ficou bem melhor de visualizar que o nosso produto notável tá todo ali! Então, podemos reescrever como:

2 2 - x 2

4 - x 2

Quadrados perfeitos

Aqui, vamos partir de uma expressão assim:

x 2 + 2 y x + y 2

Que pode então ser reescrita como o quadrado de uma soma:

x 2 + 2 y x + y 2 = x + y x + y = x + y 2

Ele vai ter sempre essa carinha, beleza?

E temos ainda uma versão pro quadrado da diferença, onde o que muda é o sinal do termo do meio:

x 2 - 2 y x + y 2 = x - y 2

Mais uma vez, a ideia é que você pode usar essas relações pra reescrever expressões que você encontrar por aí, de uma forma que seja melhor pra você trabalhar!

Cubo perfeito

Vamos ter também expressões elevadas a 3, elas são bem menos usadas que os quadrados, mas é legal que você as conheça. Sei que você vai tirar de letra! Acompanha aqui o raciocínio.

Temos uma soma ao cubo:

a + b 3

É a mesma ideia do quadrado perfeito, só que agora é o cubo perfeito.

E sua forma fatorada vai ser:

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Mais uma vez, temos também um equivalente pra subtração, onde só alguns sinais vão mudar:

a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 b 2 a - b 3

Soma e Subtração de cubos

A partir daí conseguimos tirar ainda algumas outras relações, vou deixar elas aqui caso você queira conferir, mas não precisa se preocupar em decorar isso tudo não, pelamordedeus!

a 3 + b 3 = a + b ( a 2 - a b + b 2 )

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

a 2 + b 2 = a + b 2 - 2 a b

a 2 - b 2 = a - b 2 + 2 a b

Ta lindo! Cansou? Corre ali, toma um café, come uma parada e volta pra a gente começar os exercícios, porque você usará BASTANTE o que vimos por aqui (pode ter certeza!!).

Algumas observações

É importante que você não confunda a + b 2 com a 2 + b 2 ou a - b 3 com a 3 - b 3 . São coisas totalmente diferentes, mas que são bem parecidas, então toma muito cuidado pra não se enrolar nesses detalhes!

Agrupamento

Diferença de quadrados

Quadrados perfeitos

Cubo perfeito

Soma e Subtração de cubos

Algumas observações

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