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Produtos Notáveis e Fatoração

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Teoria

FAAAAAALA AÍ, ANJINHO DO RESPONDE AÍ!

Hoje vamos falar um pouco de fatoração e produtos notáveis. Mas o que que é isso?

Fatoração é uma técnica que troca uma soma ou subtração de termos por produtos, um jeito de reescrever expressões matemáticas que vai ser super útil pra você em vários momentos!

Existem alguns casos principais que precisamos conhecer. Então vamos lá!

Fator comum em evidência

Dá uma olhada nessa soma

2 x + 2 y

Repara que cada parcela da soma tem um 2 certo? Então, elas possuem o 2 como fator comum.

Beleza, agora que identificamos isso, vamos colocar o 2 em evidência para deixar essa soma na sua forma fatorada:

2 x + 2 y = 2 x + y

Como colocamos o 2 pra fora dos parênteses, temos que dividir os termos de dentro também pelo 2 e por isso sobra só o x e o y .

“Ah, mas eu tenho medo de estar fazendo errado!”

Ora, para você saber se está no caminho certo, basta realizar a multiplicação e checar se você chega no mesmo lugar de onde partiu:

2 x + y = 2 x + 2 y

Perfeito! Vamos seguir.

Além de números, também podemos fazer o mesmo com variáveis, por exemplo:

x 3 - 2 x 2 + 5 x

Repare que todos os termos da expressão têm x , então podemos colocá-lo em evidência:

x   ( x 2 - 2 x + 5 )

Mais uma vez, dividimos todos os termos dentro dos parênteses pelo que colocamos pra fora, no caso o x . Com isso, as potências de x perderam um grau e, do 5 x , sobrou só o 5 .

Agrupamento

Agora dá uma olhada nessa soma:

2 x + 2 y + x 2 + x y

Não temos um fator comum pra todos os termos, mas se olharmos só os dois primeiros termos, podemos fatorar como já vimos:

2 x + 2 y = 2 x + y

Já os outros dois termos que sobram, têm o x em comum, então podemos fatorá-los também:

x 2 + x y = x x + y

Agora, vamos reescrever essa soma:

2 x + 2 y + x 2 + x y = 2 x + y + x x + y

Repara que agora as duas partes têm o mesmo termo entre parênteses, o ( x + y ) .

Podemos colocar esse ( x + y ) também em evidência:

2 x + y + x x + y = x + y 2 + x

Dessa forma, surgem outros parênteses com a soma dos termos que estavam multiplicando o nosso fator comum, o 2 e o x .

Isso é o agrupamento, que é basicamente colocar em evidência uma expressão com mais de um termo, no caso, o ( x + y ) .

Diferença de quadrados

Agora vamos falar dos produtos notáveis, que são algumas multiplicações famosas e que tem utilidade em diversos lugares diferentes, por isso, vou apresentá-las e mostrar como funcionam.

A primeira delas será a diferença de quadrados. Vai vir algo tipo assim:

x 2 - 9

Tá vendo que temos dois termos ao quadrado e uma subtração entre eles? Podemos reescrever, pra ficar mais fácil de perceber:

x 2 - 3 2

Pois bem, por isso chamamos de diferença de quadrados!

E então a forma fatorada será:

x 2 - 3 2 = x - 3 ( x + 3 )

Tá vendo como a nossa diferença de quadrados virou o produto da soma pela diferença dos termos que estavam ao quadrado antes? De uma forma mais geral, podemos representar isso como:

x 2 - a 2 = ( x - a ) ( x + a )

Isso quer dizer que sempre que você encontrar uma expressão que se encaixe nessa fórmula geral, seja como diferença de quadrados ou como o produto da soma pela diferença, você pode usar essa relação pra reescrever a expressão.

Olha esse exemplo:

- x + 2 x + 2

“Ah, pronto! Eu estava crente que já havia entendido e você vem com essa!”

Relaxa, coloquei esse exemplo pra mostrar que as vezes a expressão não vem prontinha pra ser encaixada no nosso produto notável, mas isso não quer dizer que ele não possa ser usado.

Vamos reescrever a expressão, trocando o 2 e o x de lugar dentro dos parênteses:

2 - x 2 + x

Agora ficou bem melhor de visualizar que o nosso produto notável tá todo ali! Então, podemos reescrever como:

2 2 - x 2

4 - x 2

Quadrados perfeitos

Aqui, vamos partir de uma expressão assim:

x 2 + 2 y x + y 2

Que pode então ser reescrita como o quadrado de uma soma:

x 2 + 2 y x + y 2 = x + y x + y = x + y 2

Ele vai ter sempre essa carinha, beleza?

E temos ainda uma versão pro quadrado da diferença, onde o que muda é o sinal do termo do meio:

x 2 - 2 y x + y 2 = x - y 2

Mais uma vez, a ideia é que você pode usar essas relações pra reescrever expressões que você encontrar por aí, de uma forma que seja melhor pra você trabalhar!

Cubo perfeito

Vamos ter também expressões elevadas a 3, elas são bem menos usadas que os quadrados, mas é legal que você as conheça. Sei que você vai tirar de letra! Acompanha aqui o raciocínio.

Temos uma soma ao cubo:

a + b 3

É a mesma ideia do quadrado perfeito, só que agora é o cubo perfeito.

E sua forma fatorada vai ser:

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Mais uma vez, temos também um equivalente pra subtração, onde só alguns sinais vão mudar:

a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 b 2 a - b 3

Soma e Subtração de cubos

A partir daí conseguimos tirar ainda algumas outras relações, vou deixar elas aqui caso você queira conferir, mas não precisa se preocupar em decorar isso tudo não, pelamordedeus!

a 3 + b 3 = a + b ( a 2 - a b + b 2 )

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

a 2 + b 2 = a + b 2 - 2 a b

a 2 - b 2 = a - b 2 + 2 a b

Ta lindo! Cansou? Corre ali, toma um café, come uma parada e volta pra a gente começar os exercícios, porque você usará BASTANTE o que vimos por aqui (pode ter certeza!!).

Algumas observações

É importante que você não confunda a + b 2 com a 2 + b 2 ou a - b 3 com a 3 - b 3 . São coisas totalmente diferentes, mas que são bem parecidas, então toma muito cuidado pra não se enrolar nesses detalhes!

Agrupamento

Diferença de quadrados

Quadrados perfeitos

Cubo perfeito

Soma e Subtração de cubos

Algumas observações

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Desenvolva o quadrado do binômio abaixo

9 x + 1 2

Passo 1

Opa!! Esse exercício podemos resolver de duas formas: Na primeira faremos a multiplicação na mão e na segunda utilizaremos os Produtos notáveis, beleza?! Vamos ver que nas duas formas chegaremos no mesmo resultado!

Passo 2

Queremos desenvolver o binômio

9 x + 1 2

Certo?! Vamos primeiro fazer a multiplicação na mão! Se você reparar, quando escrevemos 9 x + 1 2 o que no fundo estamos querendo fazer é

9 x + 1 2 = 9 x + 1 ( 9 x + 1 )

Isso porque qualquer coisa elevada ao quadrado é ela multiplicada por ela mesma.

Concorda?!

Então vamos fazer a multiplicação de cada um dos termos. Para isso, podemos utilizar o chuveirinho:

Onde multiplicamos cada termo do primeio parênteses com cada termo do segundo.

Ao realizarmos essa multiplicação, teremos

Fazendo as continhas, ficamos com

Somando os termos que tem x

Beleza?! Ou seja, ao desenvolver o binômio, temos

Agora vamos resolver essa mesma questão utilizando Produtos Notáveis??

Passo 3

Um dos casos mais comuns de produtos notáveis é o quadrado da soma de dois termos:

Que pode ser feito nesse formatinho aqui:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2  

Onde essa igualdade sempre será verdadeira! Ou seja, se tivermos uma expressão do tipo a + b 2 , isso é a mesma coisa que a 2 + 2 a b + b 2     e vice-versa! Beleza?!

Vamos utilizar essa igualdade então pra resolver nosso exercício! Vamos fazer tudo bem detalhadinho pra ninguém ficar pra traz! Bora lá!

Se você reparar, do lado esquerdo da equação temos o quadrado da soma de dois termos:

Assim, podemos utilizar o produto notável!! Ficará assim:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

No nosso problema quem está no lugar do a é o 9 x , e quem está no lugar do b é o 1 . Assim, vamos escrever o lado direto do produto notável no mesmo formado, substituindo quem é o x e quem é o b :

Beleza?! Agora vamos fazer as contas do lado direito da equação:

E assim chegamos no nosso resultado!!

Se voce reparar foi o mesmo resultado que encontramos ao fazer a multiplicação na mão!

Show de bola?!

Resposta

81 x 2 + 18 x + 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

O produto 2 x + 1 ⋅ 2 x - 1 é igual a:

  1. 4 x 2 - 2 x + 1
  2. x 2 + 1
  3. 4 x 2 - 2 x - 1
  4. 4 x 2 - 1

Passo 1

Vamos lááá!! Para resolver essa questão a primeira coisa que precisamos reparar é que temos o produto de uma soma e uma diferença, concorda?!

Temos duas formas de atacar essa questão! Faremos das duas formas aqui: Primeiro faremos a multiplicação na mão mesmo e depois faremos utilizando os Produtos Notáveis, beleza?!

Passo 2

Primeiro vamos fazer a multiplicação na mão! Para isso, utilizaremos o chuveirinho!! Como funciona? Se liga!

Fazendo a multiplicação, teremos

Show de bola?! Ficou grandinho mas dá pra arrumar e simplificar a nossa vida! Vamos fazer as continhas do lado direito da equação:

Beleza?! Se você reparar podemos cortar o - 2 x com o + 2 x :

E assim temos o resultado do nosso produto!

Passo 3

Beleza... e qual é a outra forma que temos de resolver esse problema???

Lembra que eu disse que temos o produto de uma soma e uma diferença??

A outra forma que iremos resolver é usando Produtos Notáveis!!

Ó, um dos casos mais comuns de produtos notáveis é essa aqui embaixo:

x 2 - y 2 = x + y x - y

Onde essa igualdade sempre será verdadeira! Ou seja, se tivermos uma expressão do tipo x 2 - y 2 , isso é a mesma coisa que x + y x - y e vice-versa! Beleza?!

Vamos utilizar essa igualdade então pra resolver nosso exercício! Vamos fazer tudo bem detalhadinho pra ninguém ficar pra traz! Bora lá!

Se você reparar, do lado esquerdo da equação temos o produto de uma soma e uma diferença, igual ao nosso enunciado:

Como o expressão do nosso exercício também é o produto de uma soma e uma diferença, podemos utilizar essa igualdade!

Então faremos a diferença do quadrado do primeiro e do segundo termo:

E assim chegamos no nosso resultado,

Que se você reparar é o mesmo resultado que encontramos anteriormente!

Show de bola?!

Resposta

L e t r a   ( D )

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Marque a opção correta, utilizando Produtos Notáveis:

  1. x + y 2 = x 2 + y 2
  2. x + y 2 = x 2 + x y + y 2
  3. x - y 2 = x 2 - y 2
  4. x - y 2 = x 2 - 2 x y + y 2

Passo 1

Bom, para resolver essa questão vamos relembrar os casos mais comuns de Produtos Notáveis?

Os três mais comuns são:

  • Quadrado da soma de dois termos:

    • x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2  

  • Quadrado da diferença entre dois termos

    • x - y 2 = x 2 - 2 x y + y 2

  • A diferença de quadrados

x 2 - y 2 = x + y x - y

beleza?!

Passo 2

Agora podemos analisar as opções que temos na questão!! Se você reparar, as duas primeiras opções (a) e (b) se referem ao quadrado da soma de dois termos, concorda?!

Na letra (a) temos que

x + y 2 = x 2 + y 2

O que não é verdade, pois o quadrado da soma de dois termos é

x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2  

Show de bola?!

Passo 3

A letra (b) diz que

x + y 2 = x 2 + x y + y 2

O que nos deixa tentados a dizer que é verdade, mas se você parar pra analisar faltou um 2 multiplicando o x y no segundo termo da soma. O certo seria,

x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2  

Então a letra (b) também não é verdade!

Passo 4

Na letra (c) temos a seguinte igualdade

x - y 2 = x 2 - y 2

O que não é verdade também, pois o quadrado da diferença de dois termos é dado por

x - y 2 = x 2 - 2 x y + y 2

Que é a nossa letra (d)!!!

Resposta

L e t r a   ( D )

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Fatore o polinômio abaixo

10 x 4 - 8 x 3 + 2 x 2

Passo 1

Fala Aíííí!!! Para resolver esse exercício, a primeira coisa que precisamos fazer é encontrar o fator em comum em cada termo do polinômio. Podemos reescrever o nosso plinômio assim

10 x 4 - 8 x 3 + 2 x 2 = 2 × 5 x 4 - 2 × 4 x 3 + 2 x 2

Certo?! Dessa forma, conseguimos visualizar melhor que todos os termos do polinômio tem o número 2:

Beleza?!

Passo 2

Além disso, podemos reescrever o fator do x de cada termo do polinômio. Ficaria assim,

10 x 4 - 8 x 3 + 2 x 2 = 2 × 5 x 4 - 2 × 4 x 3 + 2 x 2

10 x 4 - 8 x 3 + 2 x 2 = 2 × 5 ( x 2 × x 2 )   - 2 × 4 x × x 2 + 2 x 2

E dessa forma conseguimos visualizar que todos os termos além do número 2 também possuem o x 2 em comum:

Beleza?!

Passo 3

Agora podemos colocar em evidência o fator 2 x 2 :

Ou seja, conseguimos fatorar o nosso polinômio!!

Resposta

2 x 2 5 x 2 - 4 x + 1

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Fatore as seguintes expressões:

a   c m - c n - d n + d m

b   a b - 1 + a - b

c   γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β

Passo 1

Bora começar do começo, ok?

a   c m - c n - d n + d m

Opa, 4 termos! No que eu te falei para pensar? Agrupamento!

Vamos tentar isolar o que se repete, como por exemplo as expressões m   e n .

c m + d m = m [ c + d ]

- c n - d n = - n [ c + d ]

Passo 2

O fator c + d também se repete!

Podemos melhorar isso aí, fazendo:

c + d [ m - n ]

Show! Bora para próxima!

Passo 3

Ok, vamos fatorar essa belezinha aí.

b   a b - 1 + a - b

Pegando o enunciado e reorganizando, encontramos:

a b + a - b - 1

Que pode ser escrito na forma:

a b + 1 - b - 1

Passo 4

Agora repare que:

- b - 1 = - ( b + 1 )

Então a expressão vai ficar assim:

a b + 1 - b + 1

Daí é só botar o b + 1 em evidência:

( a - 1 ) ( b + 1 )

Passo 5

Dá uma olhada nessa última:

c   γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β

Antes de tudo, não se assuste com o cos ⁡ β e o tan ⁡ θ , vamos trata-los como números quaisquer e chamá-los de c e d , respectivamente:

cos ⁡ β = c

tg ⁡ θ = d

γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β → γ c + α d + α γ + d c

Reescrevendo da seguinte forma:

γ c + α γ + α d + d c

Passo 6

E daí vamos agrupar:

γ ( c + α ) + d ( c + a )

Isso é simplesmente:

c + α d + γ

Ou, voltando para as variáveis que substituímos:

( cos ⁡ β + α ) ( tg ⁡ θ + γ )

Resposta

a   ( c + d ) ( m - n )

b   ( a - 1 ) ( b + 1 )

c   ( cos ⁡ β + α ) ( tg ⁡ θ + γ )

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Vamos treinar algumas propriedades. Simplifique os termos a seguir:

a   a 5 3 . b 3 4 . 3 a 1 3 . b 5 4

b   2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

c   9 x - 6 . y 4

d   4 x 6 . y 9 x 3 5

e   x 3 - 4 x y 2

Passo 1

Olááá, meu bem! Esse exercício é apenas para testarmos sua capacidade de simplificar termos com potências e raízes. Não se desespere, é apenas prática. Começando do começo:

a   a 5 3 . b 3 4 . 3 a 1 3 . b 5 4

Vamos primeiramente juntar os termos semelhantes:

b 3 4 . b 5 4 . 3 a 1 3 . a 5 3

E agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de potências. Você lembra qual é?

x m . x n = x m + n

Então:

b 3 4 . b 5 4 . 3 a 1 3 . a 5 3 = b 3 4 + 5 4 . 3 a 1 3 + 5 3

3 b 8 4 . a 6 3 = b 2 3 a 2 = 3 b 2 a 2 = 3 b . a 2

Prontinho!

Passo 2

Bora para a próxima:

b   2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

Bom, começando com multiplicação de frações, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador:

2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

E agora vamos usar a propriedade da multiplicação de potência ( a m . a n = a m + n ) :

2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2 = 6 x 1 2 - 2 3 y 2 3 + 1 2

6 x 1 2 - 2 3 y 2 3 + 1 2 = 6 x - 1 6 y 7 6 = 6 x - 1 y 7 1 6

Aqui eu usei a propriedade de que a m n = a m . n

E agora, usando o fato de que a - 1 = 1 a :

6 1 x y 7 1 6

Finalmente, sabendo que a m n = a m n :

6 x y 7 6 = 6 y x y 6

Passo 3

Dá uma olhada nessa:

c   9 x - 6 . y 4

Particularmente, eu não gosto muito de raiz, eu acho o expoente inteiro muito mais bonitinho. Então, eu vou escrever aquela raiz da seguinte forma:

9 x - 6 . y 4 1 2

Concorda comigo? Apenas usei a propriedade da radiciação a m n = a m n .

Agora, temos uma potência de potências. O que fazemos? Faremos chover dentro dos parênteses em cada termo:

9 1 2 x - 6 .   1 2 . y 4 .   1 2

Lembrando que 9 = 3 2 :

3 2 .   1 2 . x - 6 .   1 2 . y 4 .   1 2

Agora é só multiplicar essas belezuras:

3 . x - 3 . y 2

Usando a propriedade a - m = 1 a m :

3 y 2 x 3

Passo 4

Paciência, que nós já estamos no fim! Olha a próxima:

d   4 x 6 . y 9 x 3 5

Bom, primeiramente, simplificando aquela fração, temos:

4 x 3 . y 9 5

Aqui, usamos a propriedade a m a n = a m - n

Bom, não temos muito mais o quê simplificar, então a resposta é essa mesma.

“Nossa, que exemplo fraco”

Na verdade, ele está aqui de propósito, para que você veja que nem sempre você consegue simplificar tudo bonitinho, algumas coisas são esquisitas e esquisitas elas permanecerão.

Passo 5

A última, finalmente, porém não menos importante:

e   x 3 - 4 x y 2

Aqui temos a seguinte situação:

x 3 = x 2 . x = x x

Além disso:

4 y 2 . x = 4 y 2 . x = 2 y x

Então:

x 3 - 4 x y 2 = x x - 2 y x

Colocando em evidência:

x x - 2 y

Prontinho! Ufa!

Resposta

a   3 b . a 2

b   6 y x y 6

c   3 y 2 x 3

d   4 x 3 . y 9 5

e   x x - 2 y

Exercício Resolvido #7

Elaboração Própria

Simplifique as expressões fracionárias:

a   2 x - 1 . x 2 - 1 8

b   18 x 2 - 3 x 3 x y . 12 y 2 6 x - 1

c   y 3 + 2 y 2 + 4 y y 3 + 2 y 2 . y 2 - 4 y 3 - 8

Passo 1

Olááá, meu anjinho! Tudo bem? Vamos fazer essa questão pra você ficar craque em fatoração!

É como eu sempre digo, vamos começar do começo:

a 2 x - 1 . x 2 - 1 8

Bom, vamos começar simplificando aquele 2 com o 8 :

x 2 - 1 4 ( x - 1 )

Temos uma divisão de polinômios, vamos tentar fatorar os termos. Perceba que não temos o que fazer no denominador, mas no numerador podemos lembrar daquele produto notável:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Então:

x 2 - 1 4 x - 1 = x - 1 x + 1 4 x - 1 = x + 1 4

Pronto!

Passo 2

Dá uma olhada nesse bichinho lindo agora:

b   18 x 2 - 3 x 3 x y . 12 y 2 6 x - 1

Simplificando os números divisíveis por 3 na primeira fração:

6 x 2 - x x y . 12 y 2 6 x - 1

Escreveremos da seguinte forma:

6 x 2 - x 6 x - 1 . 12 y 2 x y

Bom, simplificando o y e colocando o x em evidência:

x ( 6 x - 1 ) 6 x - 1 . 12 y x

Olha que beleza, agora podemos cortar aquele termo 6 x - 1 :

x . 12 y x = 12 y

Pronto, bora pra última!

Passo 3

Finalmente, a última:

c   y 3 + 2 y 2 + 4 y y 3 + 2 y 2 . y 2 - 4 y 3 - 8

Eita ferro! Esse é um monstro! Hahahaha são os meus preferidos! Bora lá!

Vou sair escrevendo na forma de produto notável tudo que eu conseguir!

y 2 - 4 = y 2 - 2 2 = y + 2 y - 2

y 3 - 8 = y 3 - 2 3 = ( y - 2 ) ( y 2 + 2 y + 4 )

Agora colocando isso na fração:

y 3 + 2 y 2 + 4 y y 3 + 2 y 2 . y 2 - 4 y 3 - 8 = y 3 + 2 y 2 + 4 y y 3 + 2 y 2 . ( y + 2 ) ( y - 2 ) ( y - 2 ) ( y 2 + 2 y + 4 )

Vamos cortar o termo y - 2 e colocar o y em evidência na primeira fração:

y ( y 2 + 2 y + 4 ) y 2 ( y + 2 ) . ( y + 2 ) ( y 2 + 2 y + 4 )

Simplificando os termos y 2 + 2 y + 4 e y + 2 :

y y 2 = 1 y

Pronto!

Resposta

a   x + 1 4

b   12 y

c   1 y

Exercício Resolvido #8

Elaboração Própria

Fatore:

x + b 2 x 2 + 4 x b + 2 b 2

Passo 1

Vamos tratar do denominador isoladamente, para começar. Deixamos também o 2 em evidência para tudo ficar mais claro:

2 x 2 + 4 x b + 2 b 2 → 2 x 2 + 2 x b + b 2

Perceba que dentro do parêntese temos um quadrado perfeito de duas variáveis x e b :

2 x 2 + 2 x b + b 2 → 2 x + b 2

Substituindo na expressão original:

x + b 2 x 2 + 4 x b + 2 b 2 → x + b 2 x + b 2

Podemos simplificar isso aí:

x + b 2 x + b 2 = 1 2 x + b

Resposta

1 2 x + b

Exercício Resolvido #9

Elaboração Própria

Fatora Aí:

c ² - 2 b c - a ² + b ²

Passo 1

Quando uma fatoração não está bem clara pra gente, vale a pena a gente tentar manipular algumas equações, como trocando de lugar algumas coisas pra ver se fica mais claro, ou somando e subtraindo algum valor, enfim. Nesse caso, podemos reescrever essa equação por:

c ² - 2 b c + b ² - a ² = c - b 2 - a ²

Passo 2

Opa! Calma aí! Isso parece alguma coisa que a gente já conhece, não?

Chama o c - b de, sei lá, p   . Teremos:

p ² - a ²

Wow! Agora temos a nossa famosa diferença de quadrados e podemos substituir por:

p ² - a ² = ( p + a ) ( p - a )

Passo 3

Substituindo novamente o p = c - b , vai sobrar...

c ² - 2 b c + b ² - a ² = c - b + a ( c - b - a )

Resposta

c ² - 2 b c + b ² - a ² = c - b + a ( c - b - a )

Exercício Resolvido #10

Elaboração Própria

Fatora Aí:

m - p 3 - q 6

Passo 1

Xiih! Me parece esquisito isso. Não conheço nenhuma fatoração com coisas elevado a 6! Mas pera ai, podemos escrever

q 6 = q 2 3

Então,

m - p 3 - q 6 = m - p 3 - q 2 3

Passo 2

Se tivesse uma parada tipo a ³ - b ³ seria molezinha, era só substituir na fórmula a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2 .

Opa, mas pera! Podemos fazer umas substituiçõezinhas e chegar nisso, não?

Se a gente chamasse o m - p de a   e q ² de b , teríamos:

m - p = a  

q ² = b

Wow! Agora é só tacar lá as substituições que já encontramos.

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

m - p 3 - q 6 = m - p 3 - q 2 3 = m - p - q ² m - p 2 + m - p q ² + q 4

E é isso aí! :}

Resposta

m - p 3 - q 6 = m - p - q ² m - p 2 + m - p q ² + q 4

Exercícios de Livros Relacionados

Simplifique.(x^4 - p^4)/(x - p)
Divida x^3 - a^3 por x - a e conclua que x^3 - a^3 = (x - a) (x^2 + a x + a^2) .
Simplifique.(x^2 - 1)/(x - 1)
Verifique as identidades.x^5 - a^5 = (x - a) (x^4 + a x^3 + a^2 x^2 + a^3 x + a^4)
Simplifique.((x + h)^2 - (x - h)^2)/(h)