Teste da Comparação no Limite

Como sempre, vamos analisar os índices de para ter um palpite sobre a convergência da série. Temos, no denominador , porém, dentro de uma raiz. Então, em termos práticos, é como se tivéssemos apenas no denominador, o que torna essa série muito semelhante com a Série harmônica, que diverge.

Porém, temos o seguinte:

Como a série que estamos estudando possui termos menores que os da Série Harmônica, não conseguimos aplicar o Teste da comparação aqui. Vamos, então, tentar a comparação no limite.

Para aplicar o teste, vamos usar a Série harmônica, que acabamos de mencionar:

Calculando o limite:

Colocando em evidência dentro da raiz vamos ter

Como, neste caso, estamos pegando indo para ele vai ser sempre positivo, então

Nosso limite vai ficar

Assim, pelo Teste da comparação no limite, mostramos que essa série também diverge.

Mais uma vez, vamos olhar os índices dominantes de , tanto no numerador quanto no denominador. Em cima, temos , embaixo, . Fazendo o quociente, temos:

Portanto, a série que queremos estudar é parecida com uma p-série de (que converge), o que nos leva a pensar que ela deva convergir.

Porem, comparar essa série do problema com a p-série parece complicado, não é? Meio difícil estabelecer uma relação entre as duas para aplicar o Teste da comparação, ainda mais por causa da raiz. Vamos, então, tentar o Teste da comparação no limite.

Para aplicar o teste, vamos usar a p-série que acabamos de mencionar:

Calculando o limite:

Como encontramos um número maior que zero, pelo Teste da comparação no limite, sabemos que ambas as séries convergem.

Bom, de cara já vemos que essa série é muito parecida com a Série geométrica de , que converge. Imaginamos, então que essa também deva convergir, mas qual teste aplicar para provar isso?

O primeiro que vem à nossa cabeça é o Teste da comparação, afinal as séries são muito parecidas. Podemos dizer, então, que

Logo

Encontramos um problema. O que o Teste da comparação diz a respeito de séries com termos maiores do que os de séries que convergem? Nada! Esse teste então não vai nos ajudar aqui. Porém, como esse termo parece não interferir na convergência da série (quando tende a infinito), vamos tentar usar o Teste da comparação no limite.

Para aplicar o teste, vamos usar própria Série geométrica que acabamos de ver :

Assim:

Assim, pelo Teste da comparação no limite, a série do problema converge.

Sempre que tivermos raiz no numerador será meio complicado de analisar. Então a boa é ajeitar a função de forma que eliminemos isso e uma forma de sumir com essa raiz do numerador é multiplicando pelo conjugado. Então vamos lá,

Agora vamos ter

Galera, neste caso, você pode tentar aplicar o teste da divergência e da comparação, mas já adianto que nenhum dos dois será conclusivo. Então vamos para o teste da comparação no limite.

Repara que nós temos um -série, então vamos pensar em uma outra -série parecida para comparar. Vamos comparar com a série

Assim vamos ter

Usando o teste de comparação no limite,

Para resolver isso vamos colocar em evidência

Assim, sabemos que a condições de convergência dessas séries são as mesmas!

Agora que sabemos que ela tem a mesma convergência que

Vamos analisar essa série, repara que ela é uma -série, assim ela converge para:

E diverge para:

Isso nos diz que nossa série

Para olharmos a convergência dessa série vamos começar vendo se ela é absolutamente convergente, ou seja, a convergência de

Assim temos

Olhando para essa série é interessante começarmos usando o teste da divergência, vamos calcular o seu limite

Vamos dar uma arrumada nisso

Eu fiz isso porque fazendo temos naquele seno o limite fundamental, que seria

Assim como o cara dentro do seno é igual ao cara embaixo do seno vamos ter

Então o teste da divergência não ajudou.

Vamos pensar em outra coisa, seria interessante tentar comparar essa série com uma série, que é uma série que conhecemos, mas não sabemos qual, então vamos fazer a conta para uma série qualquer e depois fazendo as contas vemos qual séries podemos escolher.

Tentar comparar pelo teste da comparação não é algo fácil de fazer aqui, então vamos tentar usar o teste da comparação no limite dessa série com

Assim vamos ter

Passo 3

Vamos agora aplicar o teste da comparação no limite com e , pelo teste da comparação no limite queremos

Esse limite vai ficar dependendo do , vamos começar considerando , assim

Isso é uma indeterminação, vamos fazer

Além disso vamos fazer a mudança

Isso vai facilitar nossas contas porque aquele seno fica mais agradável.

Assim temos

Nosso limite vai ficar

Vamos juntar tudo e deixar aquele módulo do lado de fora

Então estamos interessados em

Vamos dar uma arrumada nisso

E vamos ter

Assim podemos usar a regra de L’hopital

Vamos aplicar L’Hospital de novo, lembrando que consideramos então existe a derivada de

Mas o nosso teste da comparação no limite precisa dar um número maior que para dar certo, se tivermos aquele limite ali de cima fica , porque teríamos , e embaixo sobraria um número, mas queremos um número maior que , então vamos fazer , que assim continuamos tendo no denominador

Assim o nosso limite vai ficar , e temos que aplicar L’Hopital de novo

Caimos numa situação parecida, só que dessa vez nosso numeador é , se nosso denominador for um número teríamos um número afinal, então vamos fazer

Assim teremos

E vamos ter nosso limite sendo

E isso é um número, assim a nossa série tem o mesmo comportamento que uma série. Assim temos

E

E o limite vai para

Lembrando que queremos o módulo disso.

Pelo teste da comparação no limite vimos que

Assim a série dos termos em módulo tem o mesmo comportamento da série com e como essa série converge, vamos ter que a nossa série converge absolutamente.