Teste da Razão e da Raiz
Produzido por Carolina SabaTeoria
Teste da Razão
O Teste da razão diz o seguinte: se calcularmos o limite
(Onde é um termo genérico da série e é o que vem depois dele)
Como memorizar isso? Pense assim: se a razão entre o termo seguinte e o anterior tende a ser sempre menor que , isso significa que os termos estão sempre diminuindo e tendendo suficientemente rápido para zero. Nesse caso, a soma converge para um valor.
Por outro lado, se essa razão for maior que , isso quer dizer que a soma está sempre crescendo, logo não converge para um número limitado. Quando o limite é exatamente , a série pode convergir ou divergir, não sabemos!
Exemplo: Estude a convergência da série
Passo 1: Vamos aplicar o Teste da razão aqui. Para ficar mais claro, vamos escrever primeiro quem são e .
Passo 2: Agora vamos calcular o limite que o teste pede
Como encontramos , sabemos que essa série é convergente.
Agora que você já viu como aplicar esse teste, resta a dúvida: quando usar o Teste da razão? Porque o Teste da razão foi uma boa escolha? Por que conseguimos simplificar o limite, graças, especialmente, à potência no denominador do termo geral . Depois de simplificar o limite, conseguimos eliminar os expoentes , restando apenas o número , o que facilita muito nossa vida, não é?
Outro caso em que o Teste da razão pode ser uma boa escolha é quando temos fatorial. Veja o exemplo abaixo:
Exemplo: Estude a convergência da série:
Passo 1: Para usar o Teste da razão, vamos escrever quem são e :
Passo 2: Vamos, agora, calcular o limite do teste:
Desenvolvendo o fatorial no denominador:
Assim, pelo Teste da razão, a série do problema é convergente.
Teste da raiz ou Critério da raiz
Esse teste é um dos mais fáceis de reconhecer quando usar. É bem parecido com o Teste da razão, repara só.
Sendo uma série, assumimos que . Se esse limite existir:
Viu? Basicamente as mesmas regras do Teste da razão, apenas o limite é diferente. O que é bastante interessante é que, quando o Teste da razão não funcionar (ou seja, ), o Teste da raiz também não vai. E vice-versa! Então, nem perca seu tempo testando os dois.
Beleza, agora como funciona na prática esse Teste da raiz? Vamos ver um exemplo. Digamos que peçam para você analisar a convergência da seguinte série:
Passo 1: Vamos ver os testes que aprendemos.
Como não é evidente que a série divirja trivialmente, imaginamos que o Teste da divergência deva ser inconclusivo, não vamos perder tempo com ele.
Não podemos aplicar o Teste da comparação, pois essa série não se parece com nenhuma conhecida e selecionar apenas os termos dominantes para fazer o teste no limite ficaria complicado.
Aplicar o Teste da razão aqui talvez seja pior ainda! Imagina substituir todos esses ’s por . O limite de seria muito complicado de se resolver.
Agora repare que o termo geral está inteiramente elevado a . Esse expoente é exatamente o que complica nossas vidas, e com o Teste da raiz conseguimos nos livrar dele. Temos, então:
Passo 2: Agora precisamos calcular o limite que o teste pede:
Como encontramos , sabemos, pelo Teste da raiz, que a série é convergente.
Agora imagina que a série fosse a seguinte:
Muito parecida com a que acabamos de ver, não é? Nem tanto. Repare que esse “” que tínhamos no denominador fazia toda a diferença para esse teste. Sem ele, encontramos para o limite, um resultado inconclusivo. Nesse caso, então, o teste da raiz não serviria, você teria que buscar outro!
Bem, talvez você esteja pensando “também usávamos o Teste da razão quando tínhamos expoente , qual a diferença para esse teste?”. A diferença é que, como falamos no exercício, vamos usar o Teste da raiz quando todo o termo geral estiver elevado a um expoente .
Por que isso? Pense, vamos tirar a raiz desse termo, para cancelar o expoente. Se alguma parte não tiver esse expoente, teremos uma raiz sobrando, o que complica mais ainda nossa vida, não é?
Certo, agora vamos praticar um pouco!