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Teste da Razão e da Raiz

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Teoria

Teste da Razão

O Teste da razão diz o seguinte: se calcularmos o limite

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

(Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o que vem depois dele)

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n     é   c o n v e r g e n t e                                                                                                           s e   L > 1   o u   lim ⁡ a n + 1 / a n = ∞   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e                                           s e   L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a                                                                                          

Como memorizar isso? Pense assim: se a razão entre o termo seguinte e o anterior tende a ser sempre menor que 1 , isso significa que os termos estão sempre diminuindo e tendendo suficientemente rápido para zero. Nesse caso, a soma converge para um valor.

Por outro lado, se essa razão for maior que 1 , isso quer dizer que a soma está sempre crescendo, logo não converge para um número limitado. Quando o limite é exatamente 1 , a série pode convergir ou divergir, não sabemos!

Exemplo: Estude a convergência da série

∑ n = 1 ∞ n 3 3 n

Passo 1: Vamos aplicar o Teste da razão aqui. Para ficar mais claro, vamos escrever primeiro quem são a n e a n + 1 .

a n = n 3 3 n ,     a n + 1 = ( n + 1 ) 3 3 n + 1

Passo 2: Agora vamos calcular o limite que o teste pede

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 3 n + 1 × 3 n n 3

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 3 3 n 3 =

= lim n → ∞ ⁡ n 3 ( 1 + 1 / n ) 3 3 n 3 =

= lim n → ∞ ⁡ ( 1 + 1 / n ) 3 3 = 1 3 < 1

Como encontramos L = 1 / 3 < 1 , sabemos que essa série é convergente.

Agora que você já viu como aplicar esse teste, resta a dúvida: quando usar o Teste da razão? Porque o Teste da razão foi uma boa escolha? Por que conseguimos simplificar o limite, graças, especialmente, à potência no denominador do termo geral 3 n . Depois de simplificar o limite, conseguimos eliminar os expoentes n , restando apenas o número 3 , o que facilita muito nossa vida, não é?

Outro caso em que o Teste da razão pode ser uma boa escolha é quando temos fatorial. Veja o exemplo abaixo:

Exemplo: Estude a convergência da série:

∑ n = 1 ∞ 1 n !

Passo 1: Para usar o Teste da razão, vamos escrever quem são a n e a n + 1 :

a n = 1 n ! ,     a n + 1 = 1 ( n + 1 ) !

Passo 2: Vamos, agora, calcular o limite do teste:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 ! × n ! 1

Desenvolvendo o fatorial no denominador:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1   n ! × n ! =

= lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0 < 1

Assim, pelo Teste da razão, a série do problema é convergente.

Teste da raiz ou Critério da raiz

Esse teste é um dos mais fáceis de reconhecer quando usar. É bem parecido com o Teste da razão, repara só.

Sendo ∑ a n uma série, assumimos que | a n | n = | a n | 1 / n → n → ∞ L . Se esse limite L existir:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e                                                                                                   s e   L > 1   o u lim n → ∞ ⁡ a n 1 / n = ∞   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e                                 s e   L = 1   e n t ã o   n ã o   s e   p o d e   f a l a r   n a d a                                                                                          

Viu? Basicamente as mesmas regras do Teste da razão, apenas o limite é diferente. O que é bastante interessante é que, quando o Teste da razão não funcionar (ou seja, L = 1 ), o Teste da raiz também não vai. E vice-versa! Então, nem perca seu tempo testando os dois.

Beleza, agora como funciona na prática esse Teste da raiz? Vamos ver um exemplo. Digamos que peçam para você analisar a convergência da seguinte série:

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 3 n 2 n

Passo 1: Vamos ver os testes que aprendemos.

Como não é evidente que a série divirja trivialmente, imaginamos que o Teste da divergência deva ser inconclusivo, não vamos perder tempo com ele.

Não podemos aplicar o Teste da comparação, pois essa série não se parece com nenhuma conhecida e selecionar apenas os termos dominantes para fazer o teste no limite ficaria complicado.

Aplicar o Teste da razão aqui talvez seja pior ainda! Imagina substituir todos esses n ’s por n + 1 . O limite de a n + 1 / a n seria muito complicado de se resolver.

Agora repare que o termo geral está inteiramente elevado a n . Esse expoente é exatamente o que complica nossas vidas, e com o Teste da raiz conseguimos nos livrar dele. Temos, então:

| a n | n = | a n | 1 / n = n 2 + 1 3 n 2

Passo 2: Agora precisamos calcular o limite que o teste pede:

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 3 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 ( 1 + 1 / n 2 ) 3 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ ( 1 + 1 / n 2 ) 3 = 1 3

Como encontramos L = 1 / 3 < 1 , sabemos, pelo Teste da raiz, que a série é convergente.

Agora imagina que a série fosse a seguinte:

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n 2 n

Muito parecida com a que acabamos de ver, não é? Nem tanto. Repare que esse “ 3 ” que tínhamos no denominador fazia toda a diferença para esse teste. Sem ele, encontramos L = 1 para o limite, um resultado inconclusivo. Nesse caso, então, o teste da raiz não serviria, você teria que buscar outro!

Bem, talvez você esteja pensando “também usávamos o Teste da razão quando tínhamos expoente n , qual a diferença para esse teste?”. A diferença é que, como falamos no exercício, vamos usar o Teste da raiz quando todo o termo geral estiver elevado a um expoente n .

Por que isso? Pense, vamos tirar a raiz desse termo, para cancelar o expoente. Se alguma parte não tiver esse expoente, teremos uma raiz sobrando, o que complica mais ainda nossa vida, não é?

Certo, agora vamos praticar um pouco!

Teste da raiz ou Critério da raiz

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 683, exercício 2 (adaptado)

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n

Passo 1

Desconfiamos que o teste da divergência seja inconclusivo e não conseguimos ver claramente uma série parecida com ela para usar testes de comparação, vamos tentar o Teste da razão.

Como já vimos, o primeiro passo é escrever quem são a n e a n + 1 .

a n = n 2 2 n

a n + 1 = ( n + 1 ) 2 2 n + 1

Já que temos expoente n no denominador, imaginamos que o Teste da razão seja uma boa escolha.

Passo 2

Agora vamos calcular o limite que o teste pede

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 2 n + 1 × 2 n n 2

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 2 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 2 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 ( 1 + 1 / n ) 2 2 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ ( 1 + 1 / n ) 2 2 = 1 2 < 1

Como encontramos L = 1 / 2 < 1 , sabemos que essa série converge absolutamente, pelo Teste da razão. Logo, converge

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 683, exercício 8 (adaptado)

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ e - n n !

Passo 1

Como temos um fatorial e um expoente n , imaginamos que o Teste da razão deva ser uma boa ideia.

O primeiro passo para aplicar esse teste é escrever quem são a n e a n + 1 .

a n = e - n n !

a n + 1 = e - ( n + 1 ) ( n + 1 ) !

Passo 2

Agora vamos montar o limite que o teste pede e simplificá-lo ao máximo.

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) ! × 1 e - n n !

= lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) n ! × 1 e - n n ! =

= lim n → ∞ ⁡ e - n - 1 ( n + 1 ) e - n =

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) e = ∞

Como encontramos lim ⁡ a n + 1 a n = ∞ , sabemos que essa série diverge, pelo Teste da razão.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.1 – 2a

Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 0 ∞ n ln ⁡ n 2 n

Passo 1

Então, galerinha, repara que nosso somatório tem um cara de serie geométrica, mas também temos n na base. Por isso, pra decidir sobre a convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

E analisar o valor de L . Se L < 1 , então temos que a série converge.

Então, fazendo a n = n ln ⁡ n 2 n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1   2 n + 1 n ln ⁡ n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1   2 n + 1   2 n n ln ⁡ n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n

Passo 2

Resolvendo esse limite, chegamos em uma indeterminação,

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n = ∞ ∞

Agora pela regra de L’Hôpital:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n = 1 2

Como o valor do limite L   é tal que: L < 1 , então a série converge absolutamente! Logo, converge.

Resposta

A série converge!

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 4 - P1 2011 - 1b

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 11 n n ! 3 3 n !

Passo 1

Como temos um monte de fatoriais vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 11 n + 1 n + 1 ! 3 3 n + 1 ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 = lim n → ∞ ⁡ 11 n + 1 n + 1 n ! 3 3 n + 3 ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 =

lim n → ∞ ⁡ 11 n + 1 n + 1 3 n ! 3 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 3 n ! ∙ 3 n ! 11 n n ! 3 = lim n → ∞ ⁡ 11 n + 1 3 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 =

lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 9 n 2 + 15 n + 6 3 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 45 n 2 + 18 n + 9 n 2 + 15 n + 6 =

lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 54 n 2 + 33 n + 6

Temos dois polinômios, vamos colocar o maior grau de n em evidência

lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 27 n 3 + 54 n 2 + 33 n + 6 = lim n → ∞ ⁡ 11 n 3 1 + 3 n + 3 n 2 + 1 n 3 n 3 27 + 54 n + 33 n 2 + 6 n 3 =

lim n → ∞ ⁡ 11 1 + 3 n + 3 n 2 + 1 n 3 27 + 54 n + 33 n 2 + 6 n 3 = 11 1 + 0 + 0 + 0 27 + 0 + 0 + 0 = 11 27

Como esse limite é menor que 1 , pelo teste da razão essa parada converge absolutamente. Logo, converge!

Resposta

Converge

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n

Passo 1

Aqui precisamos de um pouco de atenção, Veja que podemos escrever:

2 n 2 n = 4 n 2 n

Agora sim, temos uma potência de n , não é? Provavelmente poderíamos aplicar outros testes a essa série, mas veja que o Teste da raiz será bem simples.

Temos

| a n | n = | a n | 1 / n = 4 n 2

Passo 2

Pronto, agora basta tirar o limite dessa expressão:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 = 0

Como encontramos L = 0 < 1 , sabemos, pelo Teste da raiz, que a série converge absolutamente. Logo, converge.

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #6

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 682, exemplo 6

Teste a convergência da série

∑ n = 1 ∞ 2 n + 3 3 n + 2 n

Passo 1

Como o termo geral da série é uma potência de n , vamos aplicar o Teste da raiz nessa questão. Podemos dizer, então:

| a n | n = | a n | 1 / n = 2 n + 3 3 n + 2

Passo 2

Agora só precisamos tirar o limite dessa expressão:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 3 n + 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n ( 2 + 3 / n ) n ( 3 + 2 / n ) =

= lim n → ∞ ⁡ ( 2 + 3 / n ) ( 3 + 2 / n ) = 2 3

Como encontramos L = 2 / 3 < 1 , sabemos, pelo Teste da raiz, que a série converge absolutamente. Logo, converge.

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria.

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n n n

Passo 1

Aqui precisamos de um pouco de atenção. Veja que podemos reescrever o termo geral dessa série assim:

n + 1 2 n n n = n + 1 2 n n n = n + 1 2 n n

Parece uma boa, então, usar o Teste da raiz. Temos

| a n | n = | a n | 1 / n = n + 1 2 n

Passo 2

Agora vamos tomar o limite dessa expressão

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n

Maravilha, agora colocando n 2 em evidência no numerador, vamos obter que:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 1 / n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 = ∞ 1 + 1 ∞ 2

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 = ∞

Como encontramos lim ⁡ a n n = ∞ , sabemos que essa série diverge, pelo Teste da raiz.

Resposta

A série diverge.

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