Modelagem com Equação do Calor
Teoria
Introdução
Nas outra teorias nós vimos a Equação de Calor Unidimensional, algumas variações dela e como resolver a EDP, nessa nós vamos ver a modelagem.
Diferente das modelagens que nós vimos em EDO as de EDP não são tão variadas. A Equação de Calor é uma EDP bem específica para os casos que nós estudamos e não tem como fugir muito disso. A diferença da modelagem é que o problema não vai mais nos dar as equações bonitinhas pra resolver, nós vamos ter que as encontrar.
Pode ficar bem tranquilo que isso é bem moleza. Como já tá bem dominado como resolver a equação quando ela já tá arrumada, nessa teoria nós vamos só ensinar como chegar às equações e vamos deixar a pratica de resolução para os exercícios.
Vamos pegar um exemplo pra extrair as equações e depois eu dou uns bizus de frases chaves que aparecem em problemas como esses.
Modelagem de Equação de Calor
Vamos pegar o seguinte exercício :
Considere a condução de calor em uma barra de cm de comprimento, cujas extremidades, esquerda e direita são mantidas, respectivamente, a C e a C para . Suponha que inicialmente a temperatura ao longo da barra seja C. Considere .
Beleza. A primeira coisa que a gente tem que carregar no bolso é a tal da EDP do calor.
Temos que lembrar também que é uma função de duas variáveis, . A primeira coisa que ele fala é o comprimento da barra, lembra aquele das equações? Então, ele é o comprimento da barra que nesse caso é .
Depois disso ele diz a temperatura das extremidades, essas temperaturas nos dão as seguintes equações.
Entenderam isso? A temperatura em qualquer momento no início e no fim da barra vai ser essa porque ele diz que as extremidades são mantidas nessas temperaturas.
Agora a gente já tá com bastante equação, mas ainda tem mais pra tirar. Ele diz que no início a temperatura em toda a barra é .
Agora nós temos as nossas equações. Lembrando que ele fala que .
Agora é só resolver como vocês já manjam.
Nesse problema a gente já viu várias frases clássicas de modelagem, falta só a gente ver aquele caso de barra com extremidades isoladas vocês lembram? Então, quando o problema falar que a barra tem ambas as extremidades isoladas a gente tira as seguintes equações.
Quando apenas uma das extremidades for isolada, só teremos uma das derivadas iguais a zero!
Bem moleza né? Agora é só praticar.
Modelagem de Equação de Calor
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 331. Exercício 12 adaptado.
Considere uma barra uniforme de comprimento a uma temperatura inicial dada por , . Suponha que ambas as extremidades estão isoladas. Considerando , encontre a temperatura dessa barra.
Passo 1
Primeiro, temos que escrever matematicamente o que o problema nos deu.Temos a equação de calor:
E a temperatura inicial
Como o problema diz que as extremidades estão isoladas, sabemos que não há fluxo de calor passando por elas, portanto não há variação de temperatura na direção , logo:
Passo 2
Vamos fazer a separação de variáveis. Vamos supor que a função que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável por outra apenas da variável , dessa forma:
Como essa solução deve satisfazer à equação de calor, temos:
Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :
Como essa igualdade deve valer para todo e para todo e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:
Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:
Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis :
Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:
Passo 3
Resolver o problema de contorno.
Nós vamos encontrar o e o um de cada vez e, assim, encontrar . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável e a outra na , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!
Bom esse é um caso especial, as condições de Neumann homogêneas, não é? Nós já vimos a solução desse problema na teoria desse capítulo, mas vamos resolver aqui passo a passo.
A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:
Agora vamos encontrar as soluções da EDO para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.
Caso 1: , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Aqui temos o mesmo raciocínio:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos .
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: , o que nos dá . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Bom, as duas condições de contorno nos dão a mesma informação, não é? Temos, então que
Isso para o autovalor
Como escrevemos, por convenção, as autofunções sem a constante multiplicativa, temos o seguinte:
Essa é uma solução da nossa EDO, e qualquer combinação linear de também.
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
Isso ocorre para valores múltiplos de , ou seja, quando:
A solução geral do caso 3 é, então do tipo:
Agora vamos resolver o problema em .
Passo 4
Tendo o valor de , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:
Substituindo :
Para o caso em que
Sabendo que , podemos escrever:
Lembre-se de que encontramos duas soluções para , por isso temos e .
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, encontramos fórmulas gerais que satisfazem nossa EDO. Temos que lembrar que combinações lineares dessas soluções também atendem ao problema. Então, podemos escrever o seguinte:
Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é?
Muito cuidado aqui. As soluções ganharam um coeficiente e a solução recebeu um coeficiente , não podemos nos esquecer dela! Mas porque esse coeficiente, dessa forma? Porque vamos reconhecer essa solução como uma Série de Fourier de cossenos.
Beleza, agora temos que achar esses coeficientes de forma que a nossa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:
Veja que, substituindo na série, temos :
Fazendo uma extensão par da função , temos então o seguinte:
Para os outros coeficientes:
Aqui temos que usar essas relações trigonométricas:
O que nos dá:
Portanto, temos:
Agora vamos analisar, para ímpar,
E temos
Já para par, temos:
O que nos dá
Então nossa resposta é a seguinte:
Onde
Resposta
Onde
Exercício Resolvido #2
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 330. Exercício 9 a)
Considere uma barra de alumínio com cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme . Suponha que, no instante , a extremidade é esfriada a , enquanto a extremidade é aquecida a e ambas são mantidas, daí para frente, a essas temperaturas.
Encontre a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante .
Passo 1
Bom, antes de tudo, precisamos escrever matematicamente tudo o que o enunciado nos disse. Temos uma barra com comprimento . Sabemos que a temperatura inicial é
E que as temperaturas nas extremidades são fixadas em
Temos também a equação de calor
Passo 2
Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (embora um lado tenha temperatura fixada em zero, o outro é fixado em 60), precisamos primeiro procurar uma solução estacionária , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:
Como não possui a variável , sua derivada em relação a é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:
É só integrar 2 vezes!
Beleza, além disso, a solução também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:
Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de que encontramos!
Pronto, essa é a expressão de .
Passo 3
Mas o que nós queremos é , não . Certo, vamos dizer o seguinte:
Agora, nós vamos entender a solução como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que é a soma de com uma função de e , . Vamos substituir essa definição de nas condições do problema:
Passo 4
Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em ? Basta resolvê-lo para encontrar então.
Se você reparar, nós temos
Aplicando a separação de variáveis:
Substituindo na equação de calor:
O que nos dá
Aplicando a separação de variáveis para as condições de :
Passo 5
Temos agora que resolver o problema de contorno em :
Bom, chegamos a um problema de Dirichlet homogêneo,que já conhecemos a solução, mas vamos resolver aqui passo a passo.
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Agora vamos resolver o problema em .
Passo 6
Tendo o valor de , vamos resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como vimos no capítulo passado, sua solução é
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Essa é a solução fundamental , nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, então, podemos escrever:
Certo?
Passo 7
Beleza, mas esse não serve de nada se não tivermos os coeficientes , né? Para encontrá-los, vamos usar a condição que está faltando
Aqui tem um detalhe diferente. Repare que a condição é sobre , não sobre ! Mas nós sabemos que , não é? Então vamos usar isso:
Agora sim, podemos usar a condição:
Precisamos então encontrar o . Vendo essa série como uma Série de Fourier de senos, temos:
Integrando por partes, encontramos:
Resposta
Onde
Exercício Resolvido #3
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 330. Exercício 15 adaptado.
Considere uma barra uniforme de comprimento , com distribuição inicial de temperatura , . Suponha que a temperatura na extremidade é mantida a , enquanto a extremidade está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela.
Encontre uma expansão em série para a temperatura da barra em função de .
Passo 1
Primeiro, temos que escrever matematicamente o que o problema nos deu.Temos a equação de calor:
E a temperatura inicial
O problema diz também que a temperatura em é fixada em zero:
E a outra extremidade está isolada, portanto:
Como o problema não deu o valor de , já sabemos que a solução deve estar em função dessa condição, né?
Passo 2
Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis. Procuramos uma solução do tipo
Como essa solução deve satisfazer à equação de calor, temos:
Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :
Como essa igualdade deve valer para todo e para todo e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:
Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:
Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis :
Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:
Passo 3
Resolver o problema de contorno. Nós vamos encontrar o e o um de cada vez e, assim, encontrar . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável e a outra na , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!
Bom, esse problema não é nenhum conhecido, né? Temos uma mistura das condições de Dirichlet com as de Neumann homogêneas, ou seja: um problema qualquer. Bom, vamos resolver então o problema de valor de contorno.
A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:
Como não sabemos o valor de , temos que analisar o problema para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.
Caso 1: , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Aqui temos o mesmo raciocínio:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: , o que nos dá . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Bom, temos novamente apenas a solução trivial, não é? Vamos para o próximo caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.
Isso ocorre quando:
Então, para o 3º caso, a solução geral é:
Passo 4
Tendo o valor de , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Agora precisamos resolver o problema em , não é? Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.
Então, podemos escrever o seguinte:
Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:
Veja que, substituindo na série, temos :
Então, podemos entender essa série como uma representação por Série de Fourier de senos da função . Fazendo uma extensão ímpar de , temos, então:
Resposta
Onde