Equação do Calor – Não Homogênea
Teoria
Introdução
Anteriormente, nesse mesmo planeta Terra e nessa mesma plataforma, vimos a Equação do Calor - Homogênea:
Onde as condições iniciais nas pontas da barra eram nulas! (temperaturas iguais à zero em todo instante de tempo na ponta e na outra ).
Agora, imagine o problema onde essas temperaturas iniciais sejam diferentes de e iguais às constantes e . Trata-se de um problema não homogêneo:
Pois bem, apenas para questões de identificação, esse problema também é chamado de Problema de Dirichlet não homogêneo. Para resolvê-lo, preciso da sua atenção para um pouquinho de Filosofia (a filosofia da matemática kkk).
Com toda modéstia, não sou Chapolin, mas acredito que eu possa ! Acompanhe-me, por favor!
Resposta Estacionária
É o seguinte, existem dois pontos na barra que sempre (independente do tempo) têm a mesma temperatura e que são diferentes entre si... Os extremos. Há de concordar comigo que comigo que, com o tempo, a temperatura na Barra tende a ficar estagnada (sem fluxo de calor), mas se dois pontos possuem sempre temperaturas que são diferentes entre si ( e ), a temperatura que vai ficar “estagnada” não pode ser a mesma em todos os pontos da barra como acontecia na homogênea, se não e serão iguais também, o que não faz sentido, certo?
Então qual será a cara da temperatura em todos os pontos após um intervalo de tempo muito grande?
Para responder essa pergunta, imaginemos que já estamos no tempo no infinito e, portanto, a tempo não mais é uma variável na temperatura da barra. Podemos falar que a temperatura nessas condições é
Esse é conhecido como resposta estacionária do calor !
Para encontrá-lo, se descreve a temperatura na Barra, ele satisfaz a equação do calor:
Como só depende de :
Logo:
Onde , ok?
Resolvendo essa EDO, integrando de ambos os lados duas vezes, vamos obter:
Claro, essa solução tem que atender as condições de contorno (as pontas tem que ter a mesma temperatura desde o início do processo até o final):
Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de que encontramos!
Pronto, essa é a expressão de .
Resposta Transiente
Até agora, vimos à resposta quando o tempo é tão grande que ele não importa mais (solução estacionária), mas e quando ele ainda importa? Como será a resposta? Nesse caso, a gente diz que estamos tralhando com a resposta transiente e ela depende tanto do tempo quando da posição.
Para encontrar essa belezinha, você tem que ter em mente que a resposta final da temperatura na Barra é sempre dada pela soma da resposta transiente com a estacionária:
Vamos substituir essa definição de nas condições do problema:
Além disso... Para as condições de contorno, teremos...
Olha só que massa! O problema de encontrar a solução Transiente é o problema de encontrar a solução da equação da onda homogênea !
Um problema com condições de Dirichlet homogêneas! Resolvendo esse problema como já vimos lá no tópico anterior, chegaremos aqui:
Uma dica aqui que posso te dar é que já vi muito essa questão ser cobrada, então talvez valha a pena dar uma memorizada nessa solução, ok?
MAS PARA TUDO! Quem é esse ? Você vai precisar encontrá-lo usando a última condição:
Aqui só tem um detalhezinho diferente. Repare que a condição é sobre , não sobre ! Mas nós sabemos que , não é? Então vamos usar isso:
Agora sim, podemos usar a condição (lembre-se de que ):
Precisamos, então, encontrar o . Repare que essa série é a representação em senos da função (não apenas de ), então, podemos dizer que:
Como já encontramos a expressão do :
Daí encontramos o resolvendo a integral, saca?! Então, basta substituir o coeficiente em:
E prontinho! Essa é será a resposta do nosso problema! Bora treinar com os nossos exercícios?
Resposta Estacionária
Resposta Transiente
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Determine uma solução de estado estacionário do problema de contorno
Passo 1
Essa é a equação do calor e ele tá pedindo a solução de estado estacionário pra isso vamos ter que definir a nossa função da seguinte forma.
O que estamos fazendo? A gente tá propondo que para um tempo muito grande, a solução só vai depender da posição na barra. Como queremos que seja solução da equação, ela deve satisfazer essa equação, ou seja:
Mas como é uma função só de .
Então temos que resolver a seguinte equação.
Passo 2
Para resolvermos essa EDO é moleza. Integrando dos dois lados uma vez teremos.
Onde é uma constante. Integrando novamente.
Onde é uma constante.
Passo 3
Vamos agora utilizar as informações iniciais para calcular os valores de e .
Além de satisfazer a equação, essa solução deve satisfazer as condições de contorno também. Então, primeiro vamos usar o fato que .
Passo 4
Vamos agora usar a informação que
Substituindo
Como
Sendo assim a nossa solução fica
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ, Cálculo IV, P2/2013.2, 2
Considere a condução de calor em uma barra homogênea de comprimento igual a m e coeficiente de difusividade térmica igual a , cuja superfície lateral está isolada e que só troca calor com o ambiente através de suas extremidades. Suponha ainda que esteja inicialmente a uma temperatura de C e que a temperatura dos extremos da barra seja mantida constante igual a C para todo . Determine a temperatura sabendo que tal problema é modelado por
Passo 1
Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (as extremidades da barra tem temperaturas fixadas em valores diferentes de zero) precisamos primeiro procurar uma solução estacionária , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:
Como não possui a variável , sua derivada em relação a é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:
É só integrar 2 vezes!
Beleza, além disso, a solução também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:
Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de que encontramos!
Passo 2
Mas o que nós queremos é , não . Certo, vamos dizer o seguinte:
Agora, nós vamos entender a solução como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que é a soma de com uma função de e , . Vamos substituir essa definição de nas condições do problema:
Passo 3
Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em ? Basta resolvê-lo para encontrar então.
Se você reparar, nós temos
Aplicando a separação de variáveis:
Substituindo na equação de calor:
O que nos dá
Aplicando a separação de variáveis para as condições de contorno de :
Passo 4
Temos agora que resolver o problema de contorno em :
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Agora vamos resolver o problema em .
Passo 5
Tendo o valor de , vamos resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como vimos no capítulo passado, sua solução é
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Essa é a solução fundamental , nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, então, podemos escrever:
Certo?
Passo 6
Beleza, mas esse não serve de nada se não tivermos os coeficientes , né? Para encontrá-los, vamos usar a condição que está faltando
Aqui tem um detalhe. Repare que a condição é sobre , não sobre ! Mas nós sabemos que , não é? Então vamos usar isso:
Agora sim, podemos usar a condição:
Precisamos então encontrar o . Vendo essa série como uma Série de Fourier de senos, fazemos uma extensão ímpar na função e temos:
Como , podemos escrever:
Podemos ver que para par, , pois . Para valores ímpares de teremos:
Assim, vamos reescrever , com Assim a gente garante que só vai ter índices ímpares em
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ, Cálculo 4, P2 2014.1, Questão 3
Considere o problema de valor inicial e de contorno, definido por
Que representa a distribuição de temperatura numa barra de seção uniforme, de material homogêneo e de comprimento .
a) Determinar a distribuição de temperatura da barra, denotada por para todo , após alcançado o estado de equilíbrio térmico (estado estacionário).
b) Definindo , determinar o problema de valor inicial e de fronteira que a função deverá satisfazer. Não é necessário resolver o problema obtido, porém deve se justificar todos os argumentos que conduzem a ele.
Passo 1
Letra a)
Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (um lado da barra tem temperatura fixada em e o outro em ), precisamos primeiro procurar uma solução estacionária , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:
Como não possui a variável , sua derivada em relação a é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:
É só integrar 2 vezes!
Beleza, além disso, a solução também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:
Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de que encontramos!
Pronto, essa é a expressão de .
Passo 2
Letra b)
Mas o que nós queremos é , não . Certo, vamos dizer o seguinte:
Agora, nós vamos entender a solução como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que é a soma de com uma função de e , . Vamos substituir essa definição de nas condições do problema:
Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em ? Basta resolvê-lo para encontrar então.
Aplicando a última condição que o problema deu, temos:
Se você reparar, nós temos
Esse é o problema que deve satisfazer. Encontrando a função , fazendo , nós temos a solução do problema.
Nesse caso, a questão pede apenas que apresentemos o problema, sem resolvê-lo.