Solução de EDO – Ponto Ordinário
Teoria
Introdução
Você provavelmente já está cansado de ouvir falar em séries, raio de convergência, intervalo de convergência, representação de funções etc. Para que serve isso tudo? Um dos motivos para você estudar isso tudo foi para chegar aqui: vamos ver como resolver equações diferenciais (EDO’s) de 2ª ordem usando séries.
Mas fica tranquilo que vamos mostrar tudo com calma para você!
Até o momento, acredito que você já saiba resolver uma EDO como esta daqui:
É uma EDO, de coeficientes constantes portanto pode ser resolvido usando a equação característica:
Aí você resolvia essa equação e dependendo do , você teria esses três modelos de resposta aqui (vou colocar para você relembrar):
- : Encontramos duas raízes reais diferentes . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo ;
- : Encontramos uma raiz real dupla . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo ;
- : Encontramos duas raízes complexas conjugadas e . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo
No nosso caso, a solução da equação característica é:
Portanto estamos falando do primeiro caso, onde aresposta é:
Se fosse um problema de PVI (Problema de valor inicial) o problema te informaria as informações iniciais, tipo e, onde você substituiria na resposta para determinar o e o sendo ambos iguais a nesse caso.
Beleza, mas a gente só refez essa EDO, pelo fato de ela ser a coeficientes constantes! E se ela não fosse assim, mas sim desse jeito aqui:
Nesse caso a gente não pode usar Equações Característica (por não ser a coeficientes constantes. Uma forma bem interessante de se resolver é usando Séries de Potências!
Solução de EDO por séries
Já vou avisando que o método é extenso mas entendendo os passos e praticando vai parecer mais natural! Vamos resolver o exemplo mostrando o passo a passo do método de solução.
Exemplo: Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
Onde
Passo 1: Primeiro, vamos supor logo de cara que a solução dessa EDO é uma série de potência centralizada no :
Essa é a série que representa . Escrevemos em torno do ponto pois as informações que o problema dá são nesse ponto . Ele é um ponto ordinário e você vai entender mais pra frente porque estou falando isso.
Esse representa os coeficientes de cada termo da série, pode ser qualquer expressão! Encontrando os ’s, nós definimos . É isso que faremos aqui !
Certo, se é dada por essa expressão, então podemos derivar:
E a derivada segunda é...
Veja que, quando derivamos pela 1ª vez, o termo constante desaparece do somatório, pois sua derivada é zero. Por isso, o somatório que representa começa em . Quando derivamos pela 2ª vez, o segundo termo do somatório, também desaparece, pois sua segunda derivada é zero. O somatório que representa começa, então, em .
Calma, você vai entender por que derivamos a série!
Passo 2: Se , e são dadas por essas séries, substituindo essas expressões na EDO, não alteramos nada, não é? Continua sendo a mesma equação. Veja:
Podemos pegar esse do lado de fora e passa-lo para dentro, lembrando que ...
Certo?
Passo 3: Precisamos juntar esses somatórios, para simplificar as coisas:
PRIMEIRO, vamos deixá-los com a mesma potência de , nesse caso, . Veja com a primeira série:
Para ficarmos com o mesmo no expoente, não concorda que precisamos somar ? Afinal . Então na prática, vamos colocar na frente de todo no somatório:
Viu só? E o legal é que não alteramos a série! Você pode vericar isso se quiser desmembrando os termos!
Claro, o índice do somatório mudou. E ele deve mudar, para compensar (mesmo raciocínio que temos com substituições nas integrais). Já que você adicionou nos ’s do somatório, o deve começar agora duas unidades antes, para compensar: então você tira no índice (no exemplo ele passou de para ).
Temos, então:
SEGUNDO: Poxa! Para colocar essas duas séries dentro de uma só, ainda é necessário fazer os somatórios começarem do mesmo que é o maior valor nesse exemplo. Para isso, basta você pegar as séries que estão diferentes e tirar o primeiro valor :
Fazendo isso com a primeira série...
Fazendo o mesmo com a última série:
Logo, podemos concluir o seguinte:
Passo 4: Finalmente, vamos juntar os somatórios, colocando o em evidência.
Temos:
Passo 5: Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo... o termo do colchetes deve ser zero. Além disso, também deve ser para essa igualde ser satisfeita. Então chegamos nisso daqui:
Essa é a última relação é chamada de relação de recorrência dos coeficientes. Agora, com base nessa equação, vamos calcular alguns ’s e procurar uma expressão em função de que o defina. Lembrando de usar as informações que o problema nos deu: . Traduzindo isso para a representação em séries:
E lembrando que
Agora sim, com esses dados vamos usar a relação de recorrência:
Arrumando mais um pouco:
A partir de agora, você sempre deve fazer o seguinte: substituir valores para até encontrar um padrão e não precisar substituir mais (conseguir advinhar o termo de cabeça mesmo), veja:
Eita! Que confusão é essa? SIM! Gera um bagulho doido no início, mas se você simplificar e substituir o valor de , e e depois substituir cada valor que você for encontrando no próximo, olha o que você vai obter:
Perceba que sem fazer nenhuma conta, podemos falar quem são o e o , apenas observando o padrão:
Podemos dividir por e multiplicar por ao mesmo tempo aí:
Toda vez que conseguirmos advinhar o próximo termo sem fazer conta, significa que agente está preparado para o próximo passo:
Passo 6: Generalizar para quanlque :
Como podemos ver todos os ’s com ímpar são iguais a zero. Se :
Já para os pares, se , podemos dizer o seguinte:
Esse aí é só pra indicar que o último termo do produto é três unidades a baixo do . Então se o , o último vai ser como lá em cimaa gente viu o , saca?
Agora uma coisa que você pode anotar aí é que toda vez que a gente tem produto de termos ímpares, a gente pode fazer o seguinte truque:
- Multiplica em cima e em baixo pelos pares que faltam (lembre-se de que o último termo antes do é o , basta você pensar que é por exemplo...
- Em cima virou um fatorial:
- Em baixo, você pode colocar o em evidência:
- O termo do colchetes, agora vira um fatorial:
Prontinho !
Você pode manter o índice , em vez de se quiser, mas pode acabar se confundindo! Depois que você escrever a fórmula geral para o é uma boa testar alguns valores e ver se ela está certa.
Passo 7: Finalmente, basta substituir essa expressão que encontramos para os coeficientes na série.
Lembre-se de que separamos o em termos pares e ímpares , então:
Prontinho! Você pode acabar por aqui! Afinal, se você tiver um valor para , basta você colocar isso em uma calculadora e ele vai encontrar a resposta para o seu .
OBS IMPORTANTÍSSIMA: para resolver esse problema exemplar, nós substituímos o e o , já que eram dados do problema inicial. Muitas vezes (você vai ver isso nos exemplo), você não terá esses dados, então eles apareceriam na resposta, ok? Eles estariam fazendo o papel do e o do exemplo no ínicio do capítulo, ou seja: das constantes!
Ponto Ordinário
Que probleminha gigante, não acha? Antes de passar para um resumo prático, vejamos agora o tal do ponto ordinário:
No geral, você vai ter que resolver uma EDO desse tipo aqui:
O método que vímos vale quando o ponto em que a série de potências está centrada (no exemplo foi o ) é ordinário.
Você: “Ah, mas e se ele não for ordinário”
Resposta: Aí a gente vai ver como resolver esse problema nos próximos capítulos, ok?
Vamos explicar o que isso quer dizer:
Estamos representando por uma série centrada no ponto , que o problema pede ou você mesmo escolhe (no nosso exemplo a gente escolheu o , porque assim teríamos logo o valor de e através do PVI).
Sabe o , coeficiente da EDO? Dizemos que o ponto é ordinário quando e quando e são funções analíticas no ponto . Se alguma dessas condições não for atendida, é ponto singular. Na prática, vamos acabar considerando que quando , é ponto ordinário.
Por exemplo, a EDO que resolvemos nesse capítulo tinha o
Logo, qualquer ponto era ordinário: Afinal, e nunca irá zerar.
Nessa outra equação, porém:
Temos quando . Portanto, não podemos descrever como uma série de potências centrada em . Podemos centrá-la em , por exemplo. Temos sempre que verificar se o ponto com que estamos trabalhando é ordinário.
Resumo prático
Basicamente, o que fizemos foi assumir que nossa solução da EDO tenha representação em série. Então, substituímos e suas derivadas por séries. Encontrando os coeficientes da série que representa , temos a resposta. Resumindo assim até pareceu fácil, né? kkk
Mas porque usar esse método tão trabalhoso para resolver EDO’s? Um dos motivos é simples: a sua prova provavelmente vai falar para você fazer isso. AFFF!
Mas qual é a vantagem desse método? Quando podemos usá-lo? Uma das vantagens, que já mencionamos, é que podemos resolver EDO’s cujos coeficientes são funções:
Por exemplo:
Essa EDO não pode ser resolvida pelo método da equação característica, que mencionamos no início do capítulo, pois os coeficientes da equação são funções de . Porém, podemos resolver sem problemas utilizando séries!
Sim, essa forma de resolver EDO é um pouco trabalhosa, mas se você reparar, não tem muito mistério. Digo, é sempre a mesma receita de bolo! Vai aqui um passo a passo para você não se perder:
- Verificar que o ponto é ordinário ();
- Definir
- Igualar as potências de , em geral, por . Quando adicionar algum valor no termo geral da série, subtrair o mesmo no valor inicial do índice ;
- Caso não sejam o mesmo, igualar os índices dos somatórios pelo maior, colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores;
- Juntar os somatórios colocando em evidência. Caso haja termos independentes (soltos fora dos somatórios) é uma boa agrupá-los dentro de parênteses de acordo com a potência de que o multiplica;
- Como , igualar o termo que multiplica a potência a zero, encontrando a relação de recorrência. Se houver termos fora do somatório, também devemos igualar a zero;
- Calcular alguns ’s (usando as informações iniciais do problema) e encontrar uma (ou mais de uma) expressão em função de que os defina;
- Substituir na série de potências essa expressão para o .
E substituir na EDO , e por essas séries;
Caso o problema peça, no final disso você calcula o raio de convergência da série pelos métodos que vimos no capítulo passado.
Achou confuso? Daqui a pouco você se acostuma, é só fazer bastantes exercícios, eles são muito parecidos. Você pode colar desse passo a passo até se sentir seguro!
O que fazer quando não temos uma equação homegênea?
Ou seja,
Neste caso, o método também não muda!! Novamente, o fato da equação não ser homogênea vai alterar o Passo 5. Vamos ver um exemplo que fica mais fácil de entender!
Exemplo:
Considere a equação diferencial :
Com e
Cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências :
Determine a relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 1:
Nós precisamos resolver a equação diferencial dada , sabendo que:
Então precisaremos calcular e :
Passo 2:
Agora que temos os termos necessários, vamos substituir na equação diferencial:
Passando para dentro do somatório,
Passo 3:
Agora temos que deixar todos os dentro dos somatórios, mudando o seu índice. Começando com
Esse era o único que precisava se mudado, repara que dessa vez temos o começando em um cara negativo, não precisa se preocupar com isso, esse pode ser negativo neste caso porque quando substituirmos no somatório não vai dar problema nenhum.
Passo 4:
A nossa EDO vai ficar:
Precisamos deixar todos os inícios no mesmo lugar agora, vamos começar todas com
Juntando os somatórios temos:
Isso nos diz que:
Além disso tiramos a relação de recorrência:
Vamos ter:
Com
PRONTINHO! Temos aí a nossa relação de recorrências! Viu como basicamente nada mudou? Agora recomendo ir para os exercício e treinar o passo a passo, pois se tem uma matéria que é certeza de cair no mínimo questão na sua prova, é essa!
Ponto Ordinário
Resumo prático
O que fazer quando não temos uma equação homegênea?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. pp. 135, exemplo 1
Encontre uma solução em série para a equação
Passo 1
Como o problema não especifica, vamos solucionar o problema definindo como uma série centrada em , para simplificar as contas. Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto é ordinário. Temos, nesse caso, . Logo, qualquer ponto que escolhermos, inclusive é ordinário. Podemos usar o método aqui então.
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO , temos:
Passo 3
Precisamos, agora, Igualar as potências de , nesse caso, por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Passo 4
Como os somatórios já possuem o mesmo índice , não precisamos mexer nisso. Basta, então, juntar os somatórios colocando em evidência.
Passo 5
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 6
Vamos agora, calcular alguns ’s. Como o problema não nos dá informações iniciais sobre ou , vamos encontrar respostas em função desses valores.
Temos, portanto, sinais alternados para os índices pares e para os ímpares. Para os pares, podemos escrever o seguinte:
Para , temos
Para , temos
Para , temos
Assim por diante. Para os ímpares, então, escrevemos o seguinte:
Para , temos
Para , temos
Assim por diante. Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em (termos pares e ímpares) por que a relação de recorrência associa termos a , portanto, com “ de distância”.
Passo 7
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF - Equações - Lista 4 - 6
Determine a solução do problema de valor inicial
Com
Passo 1
Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, então vamos aplicar séries para resolver, vemos que , que é o ponto em que se quer analisar a resposta, é um ponto ordinário. Aí a gente viu na teoria que para ponto ordinário podemos chutar a seguinte solução:
Derivando:
Mas calma, já podemos fazer uma análise das condições inicias:
Lembro que !
Logo:
Então temos que
Ok, isso vai ser importante pro futuro, mas por agora vamos substituir os somatórios na EDO:
Substituindo isso na EDO:
Passo 2
Agora vamos com calma, primeiro passe o que está no segundo somatório para dentro:
A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de , vemos que o primeiro somatório está com a cara de , o que devemos fazer é substituir por , mas substituía em tudo hein!
Sacou?! Vamos só ajeitar as contas:
Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:
Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem um cara começando em e o resto começando em ! Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. No caso, o somatório que começa com o maior valor é o do meio, porque ele começa em e o resto em , então vamos abrir os outros para começarem em também!
Substituindo isso:
Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!
Passo 3
Então ficou com essa cara aqui:
Pelo princípio da identidade, isso só é igual a se:
Da primeira equação temos que:
Da segunda, nós temos que
Arrumando mais um pouco:
Agora caímos na famosa relação de recorrência, né? Temos que achar uma forma geral pra ela, a gente só acha testando! Simbora e não esqueça que vimos lá no começo que e
Eita, negócio não é fácil, mas vamos com calma. Percebeu que todo com ficou referido a E Todo com ficou referido a . Simbora ver os pares:
Ok, tá parecendo difícil? Caalma, olha pro , você vai ver que ele dá , logo todos os termos que seguem dele vão dar também! Então vimos que todos os ímpares dão e todos os pares de 4 para cima também dão ! Então só sobrou ! Os outros coeficientes zeram!
A resposta fica:
Mas sabemos que
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ - Cálculo 4 - P1 2014.1 - 2
- Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinte problema de valor inicial:
- Calcular
Determinar o domínio de definição da solução .
Passo 1
Letra a)
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série de potências. Como, para essa questão, temos , qualquer ponto é ordinário, então, podemos escolher uma série centrada em para facilitar nossa vida : )
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO , temos:
Passo 3
Precisamos, agora, Igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora o termo correspondente a . Vamos fazer o mesmo para a 3ª série:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Como , temos:
O termo “solto”, fora do somatório também deve ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Vamos agora, calcular alguns ’s.
Temos:
Como , temos:
Agora vamos ver os outros termos, essas são nossas informações iniciais.
Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a , portanto, com “’s de distância”.
Para os índices pares, temos:
Assim, se , podemos escrever:
Temos um fatorial no denominador (veja que o número do fatorial é o mesmo do índice de ) e temos alternação de sinais. Como o 1º sinal, quando é positivo, podemos dizer que temos , pois . Se você ficar na dúvida quanto ao expoente do , testa alguns termos e vê se dá certo!
Para os índices ímpares, agora, temos:
Assim, se , podemos dizer que , ou seja, todos os ’s de índice ímpar vão ser zero, pois dependem de , que é zero.
Passo 8
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Passo 9
Letra b)
Agora precisamos calcular , não é? Para isso, precisamos saber quem é , que função é essa. Nós só temos sua representação por série de potências.
Agora vamos usar um algebrismo. Você se Lembra disso aqui?
Provavelmente não! É, também acho vacilo pedirem isso nessa questão gigante, mas fazer o que, né? Vamos lá, não tem jeito!
Explicação: usando a fórmula geral de Taylor em torno do ponto zero, temos . Como qualquer derivada de é , temos .
Beleza, vamos continuar. Substituindo por (por que não!?), temos o seguinte:
Exatamente a resposta do nosso problema, não é? Conclusão:
Essa foi a função que encontramos. Agora podemos calcular o limite:
Finalmente, acabou! : P
Resposta
Exercício Resolvido #4
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. pp. 140, exercício 9
Nos problema de 1 a 14, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatro primeiros termos em cada uma das suas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série centrada em . Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto é ordinário. Temos, nesse caso, e Logo, é ordinário, podemos usar o método aqui então.
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Colocando os valores de para dentro do somatório
Passo 3
Precisamos, agora, igualar as potências de por . A única potencia que não está é a
Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora os termos correspondentes a e . Vamos fazer o mesmo as outras séries:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Vamos agora, calcular alguns ’s.
Nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a , mas aqui nem precisaremos disso, veja:
Daí em diante, todos os termos serão iguais a zero, pois a sua expressão depende de outro termo anterior que é zero. Portanto, a série é finita.
Passo 8
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Substituindo as expressões que encontramos para os ’s, termos
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFRJ - Cálculo 4 - PF 2015.1 - 1
Considere a equação diferencial
Mostre que é um ponto ordinário para a equação.
Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada em , usando a fórmula de Taylor para a exponencial:
Passo 1
Como o termo que multiplica o é um que não se anula em nenhum valor de , dizemos que todos os pontos são ordinários. Em particular, é um ponto ordinário da equação.
Passo 2
Primeiramente, vamos introduzir uma mudança de variáveis:
Assim, a equação fica:
Mais fácil, né?
Passo 3
Agora, vamos supor uma solução em série de potências do tipo
de modo que suas derivadas são dadas por
Passo 4
Substituindo na equação:
Note que a série da exponencial já foi dada no problema! =)
Beleza, e agora? Bom, agora vamos deslocar o índice do primeiro e do último somatório para deixar geral com lá dentro, beleza?
Passo 5
Ok, agora é só substituir ali em cima e começar os somatórios em :
Show, vamos juntar os somatórios então?
Passo 6
Assim, para , podemos obter:
E, para
Passo 7
O mais legal agora é que, como fizemos a mudança de variáveis , e encontramos uma série centrada em , isso é equivalente a encontrar a série centrada em . Então os coeficientes serão exatamente os mesmos!
Assim, a solução deve ser dada por
E da recorrência, obtemos:
Passo 8
Percebeu a regra?
Então aquele numerador se torna
Que é uma soma de uma progressão aritmética:
Portanto,
Passo 9
Para os termos começando em , temos:
Como
Temos:
Passo 10
Finalmente, vamos escrever:
Resposta