Ponto Singular Regular - Método De Frobenius
Produzido por Carolina SabaTeoria
Fala aí! Hoje vamos trocar uma ideia sobre pontos singulares regulares e o método de Frobenius. TESTE ————————
Esses caras vão nos ajudar a encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem por meio de séries de potências!
⭐ Veja também ⭐
O que é um ponto singular regular?
Na equação diferencial ordinária:
Quando P(
Bem direta essa definição, né?
Saca só o exemplo:
Os pontos
E onde entra o ponto singular regular nessa história? Aí vamos precisar de uma definição um pouquinho mais formal. Se liga:
Dizemos que um ponto
Mais um exemplo pra você:
É fácil perceber que P(
Começamos com
Agora o outro limite, ainda para
Um detalhe: o limite ter dado zero é diferente dele não existir, viu?
A gente descobriu que os dois limites existem e são finitos, então,
O mesmo vai ser encontrado para
Método de Frobenius
Se preferir, assiste esse vídeo aqui com a explicação bem detalhadinha. Se não, segue comigo no texto logo abaixo que te mostro um resuminho bem passo a passo de como resolver um exercício por esse método 👇😉
O método de Frobenius vai nos ajudar a encontrar uma solução para uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com ponto singular regular.
Para entender melhor, se liga no exemplo:
Resolva a equação 2x²y’’-xy’+(1+x)y = 0 em torno do ponto x = 0.
Vamos seguir o seguinte passo a passo:
Passo 1: Determinar se o ponto é singular regular.
Bora calcular aqueles limites que vimos anteriormente:
E:
Os dois limites existem, tá confirmado que o ponto é singular regular.
Passo 2: Representar a função por série de potências.
Se supormos que a função y(x) que queremos buscar seja analítica, podemos fazer isso aqui:
Passo 3: Substituir na EDO.
Vamos passar os termos multiplicando cada somatório para dentro:
Agora, podemos juntar esses somatórios. Para isso, precisamos deixá-los com a mesma potência de
Com isso, aquela expressão anterior vai ficar assim:
Todo mundo com a mesma potência!
Passo 4: Isolar o primeiro termo de cada somatório.
A gente vai abrir cada somatório e tirar o termo
Agora, passamos todos os termos de
Passo 5: Resolver a equação indicial.
Basta igualar a 0 aquele termo que sobrou ali no início.
Com
Resolvendo isso aí, obtemos:
Se a diferença entre a maior e a menor raiz der um número não inteiro e positivo, vão existir duas soluções:
Passo 6: Juntar os somatórios e colocar em evidência.
Passo 7: Encontrar .
Olha como vamos fazer isso:
Agora, vamos substituir os dois valores de
Vamos achar o seguinte. Para
Aí substituímos lá na equação da solução:
Agora para
Passo 8: Dar a solução final.
Finalmente, vamos escrever a solução do problema:
Ufa! Deu trabalho mas sobrevivemos 😅
Segue para a parte de exercícios resolvidos pra praticar bastante e ficar craque nesse passo a passo.