Ponto Singular Regular - Método De Frobenius

Produzido por Carolina Saba
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Teoria

Fala aí! Hoje vamos trocar uma ideia sobre pontos singulares regulares e o método de Frobenius. TESTE ————————

Esses caras vão nos ajudar a encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem por meio de séries de potências!

Veja também

O que é um ponto singular regular?

Na equação diferencial ordinária:

Quando P() = 0, dizemos que o ponto é singular.

Bem direta essa definição, né?

Saca só o exemplo:

Os pontos e são singulares, pois, quando substituímos esses valores na EDO, obtemos o coeficiente 0 multiplicando o termo y’’.

E onde entra o ponto singular regular nessa história? Aí vamos precisar de uma definição um pouquinho mais formal. Se liga:

Dizemos que um ponto é singular regular se os limites abaixo existem e são finitos:

Mais um exemplo pra você:

É fácil perceber que P() = 0 quando = 1, né? Vamos descobrir se esses pontos singulares são regulares ou não.

Começamos com = 1.

Agora o outro limite, ainda para .

Um detalhe: o limite ter dado zero é diferente dele não existir, viu?

A gente descobriu que os dois limites existem e são finitos, então, é um ponto singular regular!

O mesmo vai ser encontrado para . Mas vou te poupar das contas, porque já vamos partir para o que interessa: como isso vai nos ajudar a resolver as EDOs!

Método de Frobenius

Se preferir, assiste esse vídeo aqui com a explicação bem detalhadinha. Se não, segue comigo no texto logo abaixo que te mostro um resuminho bem passo a passo de como resolver um exercício por esse método 👇😉

O método de Frobenius vai nos ajudar a encontrar uma solução para uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com ponto singular regular.

Para entender melhor, se liga no exemplo:

Resolva a equação 2x²y’’-xy’+(1+x)y = 0 em torno do ponto x = 0.

Vamos seguir o seguinte passo a passo:

Passo 1: Determinar se o ponto é singular regular.

Bora calcular aqueles limites que vimos anteriormente:

E:

Os dois limites existem, tá confirmado que o ponto é singular regular.

Passo 2: Representar a função por série de potências.

Se supormos que a função y(x) que queremos buscar seja analítica, podemos fazer isso aqui:

Passo 3: Substituir na EDO.

Vamos passar os termos multiplicando cada somatório para dentro:

Agora, podemos juntar esses somatórios. Para isso, precisamos deixá-los com a mesma potência de . Faremos isso com a seguinte relação:

Com isso, aquela expressão anterior vai ficar assim:

Todo mundo com a mesma potência!

Passo 4: Isolar o primeiro termo de cada somatório.

A gente vai abrir cada somatório e tirar o termo .

Agora, passamos todos os termos de lá pro começo:

Passo 5: Resolver a equação indicial.

Basta igualar a 0 aquele termo que sobrou ali no início.

Com :

Resolvendo isso aí, obtemos:

Se a diferença entre a maior e a menor raiz der um número não inteiro e positivo, vão existir duas soluções:

Passo 6: Juntar os somatórios e colocar em evidência.

Passo 7: Encontrar .

Olha como vamos fazer isso:

Agora, vamos substituir os dois valores de que encontramos lá no passo 5 e encontrar vários , de modo que possamos descobrir quem é o termo geral das sequências.

Vamos achar o seguinte. Para :

Aí substituímos lá na equação da solução:

Agora para :

Passo 8: Dar a solução final.

Finalmente, vamos escrever a solução do problema:

Ufa! Deu trabalho mas sobrevivemos 😅

Segue para a parte de exercícios resolvidos pra praticar bastante e ficar craque nesse passo a passo.

Resolva a equação 2x²y’’-xy’+(1+x)y = 0 em torno do ponto x = 0.

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