Ponto Singular Regular - Método De Frobenius
Teoria
Fala aí! Hoje vamos trocar uma ideia sobre pontos singulares regulares e o método de Frobenius. TESTE ————————
Esses caras vão nos ajudar a encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem por meio de séries de potências!
⭐ Veja também ⭐
O que é um ponto singular regular?
Na equação diferencial ordinária:
Quando P(
Bem direta essa definição, né?
Saca só o exemplo:
Os pontos
E onde entra o ponto singular regular nessa história? Aí vamos precisar de uma definição um pouquinho mais formal. Se liga:
Dizemos que um ponto
Mais um exemplo pra você:
É fácil perceber que P(
Começamos com
Agora o outro limite, ainda para
Um detalhe: o limite ter dado zero é diferente dele não existir, viu?
A gente descobriu que os dois limites existem e são finitos, então,
O mesmo vai ser encontrado para
Método de Frobenius
Se preferir, assiste esse vídeo aqui com a explicação bem detalhadinha. Se não, segue comigo no texto logo abaixo que te mostro um resuminho bem passo a passo de como resolver um exercício por esse método 👇😉
O método de Frobenius vai nos ajudar a encontrar uma solução para uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com ponto singular regular.
Para entender melhor, se liga no exemplo:
Resolva a equação 2x²y’’-xy’+(1+x)y = 0 em torno do ponto x
Vamos seguir o seguinte passo a passo:
Passo 1: Determinar se o ponto é singular regular.
Bora calcular aqueles limites que vimos anteriormente:
E:
Os dois limites existem, tá confirmado que o ponto é singular regular.
Passo 2: Representar a função por série de potências.
Se supormos que a função y(x) que queremos buscar seja analítica, podemos fazer isso aqui:
Passo 3: Substituir na EDO.
Vamos passar os termos multiplicando cada somatório para dentro:
Agora, podemos juntar esses somatórios. Para isso, precisamos deixá-los com a mesma potência de
Com isso, aquela expressão anterior vai ficar assim:
Todo mundo com a mesma potência!
Passo 4: Isolar o primeiro termo de cada somatório.
A gente vai abrir cada somatório e tirar o termo
Agora, passamos todos os termos de
Passo 5: Resolver a equação indicial.
Basta igualar a 0 aquele termo que sobrou ali no início.
Com
Resolvendo isso aí, obtemos:
Se a diferença entre a maior e a menor raiz der um número não inteiro e positivo, vão existir duas soluções:
Passo 6: Juntar os somatórios e colocar
Passo 7: Encontrar
Olha como vamos fazer isso:
Agora, vamos substituir os dois valores de
Vamos achar o seguinte. Para
Aí substituímos lá na equação da solução:
Agora para
Passo 8: Dar a solução final.
Finalmente, vamos escrever a solução do problema:
Ufa! Deu trabalho mas sobrevivemos 😅
Segue para a parte de exercícios resolvidos pra praticar bastante e ficar craque nesse passo a passo.
Resolva a equação 2x²y’’-xy’+(1+x)y = 0 em torno do ponto x = 0.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF - Equações - Lista 4 - 8a
Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:
Passo 1
A primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que
E só para , esse é o único ponto singular, vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites
Então ele é um ponto singular regular.
Passo 2
Agora fazemos
E substituímos na Edo
Passo 3
Vamos deixá-los com a mesma potência de , nesse caso, .
Vamos ter então
Passo 4
Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto
Vamos agora resolver a equação indicial
Como
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o em evidência
Vamos encontrar a relação de recorrência
Passo 6
Vamos achar a solução para o primeiro valor de ,
Repara que vamos ter
Podemos dar uma leve arrumada, repara que se multiplicarmos em baixo por vamos completar o fatorial de , além disso
Multiplicando em cima e embaixo
Passo 7
Lembrando que e
Vamos ter
Podemos tirar porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.
Passo 8
Vamos achar a solução para o segundo valor de ,
Repara que vamos ter
Podemos dar uma leve arrumada, repara que se multiplicarmos em baixo por vamos completar o fatorial de , além disso
Multiplicando em cima e embaixo
Passo 9
Vamos ter (lembrando que )
Podemos tirar porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.
Passo 10
A solução da EDO vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #2
UNICAMP - Cálculo 3 - Exame 2013 - 4
Considere a equação
Justifique que as funções
são analíticas em e conclua que é ponto ordinário.
Mostre que os raios de convergência das séries de Taylor de e em torno de é igual a .
Mostre que não é um ponto ordinário mas é um ponto singular regular.
Determine a equação indicial em , calcule suas raízes, e dê a forma de duas soluções linearmente independentes em série de Frobenius, em torno de .
Passo 1
Ambas as funções são racionais e seus denominadores só se anulam em , isto é, não se anulam em . Logo, e são analíticas em .
Por definição, verificamos que é de fato um ponto ordinário da equação.
Passo 2
Pela teoria, quando temos uma função racional com denominador não se anulando em , a série de potências em torno de tem raio de convergência igual a menor distância de às raízes do denominador.
Como a única raiz do denominador é , temos que os raios de convergência são iguais em ambos os casos e .
Passo 3
A equação pode ser reescrita assim:
E como é o único ponto que anula o termo , ele é um ponto singular.
Passo 4
Agora, vemos o seguinte:
Como ambas as funções acima são analíticas em todos os pontos, concluímos que é um ponto singular regular.
Passo 5
A equação indicial é dada por
onde
Assim, obtemos:
E as soluções:
Passo 6
Desta forma, as soluções linearmente independentes são dadas por
ou
Para :
ou
Resposta
; .
Exercício Resolvido #3
UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2011.1 Tozoni - 3
Considere a equação diferencial
a) Mostre que é ponto singular desta equação diferencial
b)Determine a relação de recorrência, a equação indicial e suas raízes
c)Determine a solução em série de Frobenius em torno de , correspondente a maior raiz da equação indicial. Determine a expressão do termo geral desta solução.
d)Qual é o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em c) ?
Passo 1
a) Dizemos que um ponto é singular regular se:
Existem e são finitos.
No Caso e
Como
Então fica:
Passo 2
b) Determine a relação de recorrência, a equação indicial e suas raízes
Para fazer isso, vamos ter que utilizar aquela solução proposta pelo Frobenius(Que na realidade é uma aplicação da equação de Euler-Cauchy na teoria de séries!)
Derivando duas vezes:
OBS: Repara que a gente não aumenta o número inicial do somatório para essa série!! Ela começa em 0!! O motivo disso é porque nas outras séries de potência o menor termo é uma constante, nessa série o menor termo tem potência de , logo ele não se anula quando derivamos!
Substituindo isso na EDO:
Ajeitando os somatórios:
Bem, quase todos os somatórios tem como expoente e todos tem o somatório começando em , o que temos que fazer aqui é ajeitar o único que está diferente:
Bem, a gente começa ajeitando para ficar no mesmo índice! Então é só tomar , substituindo isso no somatório o índice da potência vai ficar certo:
Mas calma, agora o somatório começa em , os outros começam em ! Não tem jeito, vamos ter que arrumar os outros somatório forçando eles a começar em , isso é só abrir abrir o somatório galera, vamos lá:
Vamos ver o outro somatório
Ok, temos os 3 somatórios começando na mesma potência e iniciando no mesmo índice! Tudo certo! Vamos voltar então a equação, é só substituir esses 3 somatórios que calculamos agora:
Vamos juntar tudo o que temos na mesma potência:
Passo 3
Beleza!!Chegamos lá, agora vamos com calma, a equação indicial representa sempre a equação que você tem que satisfazer calculando o valor do , ela é vista sempre como a função que multiplica o termo com menor potência, ou seja, . Em suma, sempre olha quem tá multiplicando ! Vamos lá:
A gente sabe que isso tem que dar , não só isso como todos os outros termos da equação, ou é solução trivial, logo:
Vamos calcular as raízes?
Então , logo , assim só existe uma solução, lembra disso? É importante! E a solução é dada pela maior raiz, no caso tanto faz porque elas são iguais! Para ter duas soluções a diferença entre a maior raiz e a menor raiz tem que dá um não inteiro maior que zero! A solução é:
No caso vamos chamar porque só tem uma raiz mesmo, mas de qualquer forma, sempre resolva em função de um geral. Quando você chegar na relação de recorrência aí sim você substitui, ok? Mas calma, na equação a gente tem esse cara ainda, antes da série:
Pela mesma análise, isso tem que dar , assim:
Xi, mas a gente já tem as raízes determinadas, sabemos que , nossa conclusão é que:
Vamos para a relação de recorrência, que se obtém só igualando o coeficiente da série a :
Não esquece que a somatório começa em 2 hein! Por isso é para , agora substituindo :
Bem, ele pediu a relação de recorrência, a equação indicial e as raízes da equação, demos tudo que ele pediu! Fechou essa letra
Passo 4
c)Determine a solução em série de Frobenius em torno de , correspondente a maior raiz da equação indicial. Determine a expressão do termo geral desta solução.
A gente já estava a caminho disso! Encontramos até agora a cara de uma solução:
Onde tem a seguinte relação de recorrência:
E não esqueça!!!! Vimos que
Então com relação aos termos pares da série, vemos que:
Podemos colocar tudo elevado ao quadrado em evidência:
O denominador ficou então com um fatorial de pares, que podemos escrever como:
Assim a relação de recorrência ficou:
E vemos que os ímpares dão sempre , assim:
Ok ok, vamos voltar a solução geral:
Vimos que somente os termos pares da série entram nisso, os ímpares dão zero, logo ela fica com a cara:
Substituindo esse , mas opa, o somatório começa em , não em , então a gente abre ele:
Agora sim, substituímos:
Se quiser você pode colocar em evidência como fizemos na teoria, e tratar ele como , porque é só uma constante e de qualquer forma a solução geral é dada pela combinação linear dessa com outra solução linearmente independente, e essa combinação linear implicaria em ter constantes multiplicando e , que seriam determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
E tcharã! Ufa! A expressão do termo geral dessa solução seria a que a gente colocou agora em cima, mas perceba que essa não é a solução geral! E nem temos a solução geral, porque a gente precisaria de outra solução linearmente independente dessa, e não temos! Isso por causa da diferença entre e ! Implicou que só saberíamos uma solução por esse método.
Passo 5
d)Qual é o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em c) ?
Hmmm, então ele quer saber o raio de convergência dessa série, isso é ponto singular, não ordinário, então não sabemos o raio mínimo de convergência da série como era no ordinário, vamos ver a cara da série:
Partiu fazer um teste da razão e ver para que intervalo ele dá menor que :
Deu pra cortar muita coisa já, vamos ajeitar isso daí:
Dá pra cortar os fatoriais também, pois
Assim fica:
Sabemos que dá pois , daí a gente conclui que ela é menor que 1 para todo , então o raio de convergência é infinito:
Resposta
a)Demonstração
b)
c)
d)
Exercício Resolvido #4
UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2011.1 - 1b
Suponha que e são soluções da EDO
Você pode dizer se o ponto é um ponto ordinário ou singular? Justifique!
Passo 1
Pensa comigo, vai?
Se o ponto for ordinário, as duas soluções por séries serão do tipo
Mas se ele for singular, as soluções devem ser do tipo
Passo 2
Como são necessárias duas condições para resolver este problema, em ponto ordinário a relação de recorrência deve aparecer de dois em dois. Isto é,
Beleza, com isso é estranho termos soluções do tipo e . Quero dizer, se a relação de recorrência é de dois em dois, então e deveriam pertencer à mesma solução. Além disso, como poderia ser solução, sem os termos de ordem mais baixa ...?
Passo 3
Então, me parecem que elas são solução de um problema de ponto singular. E digo mais, com e . Vamos testar?
Oras, se isso for verdade, então e todos os demais coeficientes serão nulos:
Lembre-se também que a relação de recorrência é de um em um agora (uma relação para cada série). Mas ela pode ser tal que a partir de e de todos os termos sejam nulos, sem problema nenhum...
Logo, o ponto deve ser singular!
Resposta
Singular.