Cálculo de Limites Através de Séries de Taylor

Produzido por Carolina Saba
Ver Todos os Exercícios

Teoria

Revisão – Série de Taylor

Série de Taylor é uma forma de representar funções em séries de potências! Ela é representada pela seguinte equação: f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n = f a + f ' a 1 ! x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + f ' ' ' a 3 ! x - a 3 …

Essa equação é a expansão de f ( x ) em torno de um ponto a .

Para obter a expansão em séries de Taylor devemos seguir alguns passos:

Passo 1: Calcular as primeiras derivadas das funções e encontrar um padrão para escrever a derivada f n ( x ) em função de n .

Passo 2: Ver onde está centrada a série e aplicá-la no somatório apresentado acima!

Cálculo de Limites usando séries

Uma importante aplicação das séries de Taylor é facilitar o cálculo de limites, substituindo a função por séries de potências, que são polinômios!

Vamos ver um exemplo que vai nos ajudar a entender melhor com aplicar!

Exemplo: Calcule

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2

Passo 1: Para calcular este limite, não podemos substituir x = 0 pois caíremos numa divisão por 0 .

Então se conseguirmos escrever e x como um polinômio, sorte nossa que a série de Maclaurin de e x é conhecido!

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

Passo 2: Vamos substituir o polinômio com quatro termos na função e achar como podemos aproximar esta função!

e x - 1 - x x 2 =   1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! - 1 - x x 2

e x - 1 - x x 2 =   x 2 2 + x 3 6 x 2

e x - 1 - x x 2 =   1 2 + x 6

Passo 3: Substituindo no limite:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 =   lim x → 0 ⁡ 1 2 + x 6

Agora podemos substituir x = 0 pois não caímos em nenhuma indeterminação!

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 =   lim x → 0 ⁡ 1 2 + x 6 =   1 2 + 0 6

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 = 1 2

Conseguimos calcular o limite usando séries!!

Vamos ver alguns exercícios para ajudar a entender cada vez mais esta aplicação!

Cálculo de Limites usando séries

Exercícios de Livros Relacionados