Cálculo de Limites Através de Séries de Taylor
Teoria
Revisão – Série de Taylor
Série de Taylor é uma forma de representar funções em séries de potências! Ela é representada pela seguinte equação:
Essa equação é a expansão de em torno de um ponto .
Para obter a expansão em séries de Taylor devemos seguir alguns passos:
Passo 1: Calcular as primeiras derivadas das funções e encontrar um padrão para escrever a derivada em função de .
Passo 2: Ver onde está centrada a série e aplicá-la no somatório apresentado acima!
Cálculo de Limites usando séries
Uma importante aplicação das séries de Taylor é facilitar o cálculo de limites, substituindo a função por séries de potências, que são polinômios!
Vamos ver um exemplo que vai nos ajudar a entender melhor com aplicar!
Exemplo: Calcule
Passo 1: Para calcular este limite, não podemos substituir pois caíremos numa divisão por .
Então se conseguirmos escrever como um polinômio, sorte nossa que a série de Maclaurin de é conhecido!
Passo 2: Vamos substituir o polinômio com quatro termos na função e achar como podemos aproximar esta função!
Passo 3: Substituindo no limite:
Agora podemos substituir pois não caímos em nenhuma indeterminação!
Conseguimos calcular o limite usando séries!!
Vamos ver alguns exercícios para ajudar a entender cada vez mais esta aplicação!
Cálculo de Limites usando séries
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 710, exercício 58
Use a série
Para calcular
Passo 1
Antes de calcular o limite vamos reescrever a função que queremos encontrar o limite! Para isso vamos substituir
Usando apenas os três primeiros termos, assim teremos
Passo 2
Agora que já aproximamos a função, vamos calcular o limite!
Esse limite é bem mais simples de calcular, vamos substituir
Resposta
Assim, teremos
Exercício Resolvido #2
James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 710, exercício 56
Use séries para calcular o limite
Passo 1
Para calcular este limite, não podemos substituir pois caíremos numa divisão por .
Então se conseguirmos escrever e como um polinômio, sorte nossa que a série de Maclaurin destas funções são conhecidas!
Passo 2
Vamos substituir o polinômio com quatro termos na função e achar como podemos aproximar esta função!
Passo 3
Substituindo no limite
Agora podemos substituir pois não caímos em nenhuma indeterminação!