Calcule o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina do cloreto de césio, para a qual r c / r a = 0,732 .

Passo 1

O problema nos pede para calcularmos o fator de empacotamento atômico para o composto dado com a sua respectiva relação entre os raios do cátion e do ânion. Pois bem, a equação que vamos precisar para resolver esse problema é dada no capítulo 3 do livro a qual podemos escrever como sendo

F E A = V o l u m e   d o s   á t o m o s   e m   u m a   c é l u l a   u n i t á r i a V o l u m e   t o t a l   d a   c é l u l a   u n i t á r i a

Vamos denotar aqui o volume dos átomos em uma célula unitária como sendo   V a e o volume total da célular unitária como sendo ( V t ) . Além disso, adotaremos que nossos átomos são esferas rígidas. Sendo assim, pela tabela 12.4 temos que a estrutura cristalina do Cloreto de Césio é cúbica simples com na qual o interstício cúbico é ocupado pelo ânion C l - , então, por célula unitária teremos 1 esfera catiônica e 1 aniônicas, dessa forma nosso V a fica sendo

V a = 1 ⋅ 4 3 ⋅ π ⋅ r c 3 + 1 ⋅ 4 3 ⋅ π ⋅ r a 3

Como temos r c r a = 0,732 → r c = 0,732 ⋅ r a vamos encontrar

V a = 4 π 3 ⋅ 1 + 0,732 3 ⋅ r a 3

V a = 5 , 8 3 r a 3

Passo 2

Pois bem, precisamos agora calcular nosso volume total V t que é dado por

V t = a 3

Precisamos achar uma relação entre o lado do cubo e nossos raios do cátion e ânion, dessa forma tomemos um modelo de célula unitária simplificado onde teremos

Temos que a diagonal do nosso cubo de lado a é dada por a 3   e ainda temos que ela vale 2 ⋅ r a + r c , assim, igualando essa equações temos

a 3 = 2 ⋅ r a + r c → a = 2 3 ⋅ r a + r c

Então teremos

V = 2 3 ⋅ r a + r c 3 = 8 3 3 ⋅ 1 + 0,732 3 ⋅ r a 3 = 8 ⋅ r a 3

Então, finalmente, nosso fator de empacotamento será dado por

F E A = V a V T = 5,8 3 r a 3 2,67 ⋅ r a 3 ≈ 0,73

Resposta

F E A = 0,73

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