Enunciado

Mostre que a razão mínima entre os raios do cátion e do ânion para um número de coordenação de 4 vale 0,225 .

Passo 1

Neste problema, nos é pedido que mostremos que a razão mínima entre os raios do cátion (íon positivo) e o ânion (íon negativo) para um número de coordenação 4 vale 0,225 . Temos que para um número de coordenação 4 vamos ter a disposição de um tetraedro que pode ser muito bem inscrito em um cubo de lado a de tal forma que podemos fazer a seguinte construção

É válido lembrar aqui que reduzimos o tamanho das esferas para ficar mais fácil a visualização. Pois bem, temos que o cátion reside no centro do nosso cubo e, além disso, vamos designar por r c   e   r a os raios do cátion e do ânion, respectivamente. Como o comprimento A B é uma diagonal da face do cubo temos que

A B = a 2  

Mas, como na realidade os átomos todos estão se tocando vamos podemos expressar A B como sendo

A B = 2 r a

Fazendo a igualdade entre as duas expressões nós vamos conseguir escrever o lado do nosso cubo em função do raio do ânion da seguinte forma

a 2 = 2 r A → a = 2 r a 2 = r a 2     i          

Passo 2

Bom, não podemos esquecer que também haverá um ânion localizado na esquina, ponto F (não desenhado), e a diagonal do cubo A E F estará relacionada aos raios iônicos como

A E F = 2 ⋅ r a + r c

Respira, estamos quase acabando. Se a gente reparar no triângulo A B F formado percebemos que é possível aplicar Pitágoras de tal forma que obteremos o seguinte

A B 2 + F B 2 = A E F 2

Mas, da nossa construção geométrica temos que F B = a = r A 2   e, ainda, A B = 2 r a . Dessa forma, vamos ter o seguinte

2 r a 2 + r a 2 2 = 2 ⋅ r a + r c 2

6 r a 2 = 4 ⋅ r a 2 + 2 r a ⋅ r c + r c 2

2 r a 2 = 8 r a ⋅ r c + 4 r c 2

Dividindo todo mundo por 2 vamos encontrar

r a 2 = 4 r a ⋅ r c + 2 r c 2

Agora, vamos dividir todo mundo por r a 2   obtendo, assim,

1 = 4 r c r a + 2 ⋅ r c r a 2

Que é uma equação do segundo grau cujas raízes são dadas por

r c r a = - 4 ± 2 6 4 = - 2 ± 6   2

Nesse caso, podemos desconsiderar a raíz negativa pois não nos convém e ficaremos com

r c r a = 6 - 2 2 ≈ 0,225

Como queríamos mostrar.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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