As propriedades mecânicas do alumínio podem ser melhoradas pela incorporação de partículas finas de óxido de alumínio . Dado que os módulos de elasticidade desses materiais são, respectivamente, e , trace o gráfico do módulo de elasticidade em função da porcentagem volumétrica de no entre , usando as expressões para os limites superior e inferior.

A questão pede para que traçamos o gráfico do módulo de elasticidade em função da porcentagem volumétrica de no entre , para fazermos isso vamos utilizar as expressões para os limites superior e inferior dadas por

Onde as letras representam o módulo de elasticidade e a fração volumétrica, respectivamente. Além disso, os sobrescritos representam as fases compósito, matriz e particulada. Pois bem, essas equações geram um modelo padrão de gráfico como o mostrado na figura do livro e cuja diferença estará nos valores em que tocam no gráfico para e que no nosso caso serão: , respectivamente. Usando os pontos e fazendo uma aproximação linear e uma exponencial vamos obter o seguinte gráfico

Como é de se esperar temos que a linha superior é o limite superior e a de baixo o limite inferior.