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Enunciado

Ciência dos Materiais - Callister - Ciência e Engenharia de Materiais. Uma Introdução- Ed: 8º - Capítulo 10.Perguntas e Problemas - Ex. 2

  1. Reescreva a expressão para a variação na energia livre total para a nucleação (Equação 10.1) para o caso de um núcleo cúbico com comprimento de aresta a ( em vez de uma esfera com raio r). Agora, derive essa expressão em relação a a (conforme a equação 10.2) e resolva tanto para o comprimento crítico da aresta do cubo, a * quanto para Δ G * .
  2. Δ G * é maior para um cubo ou para uma esfera? Por quê?

Passo 1

Fala aí galera, hoje vou ensinar vocês essa questão aqui que é muito massa!

Na letra a, temos que:

O volume desse raio cúbico é a 3 , enquanto a área total da superfície é 6 a 2 (uma vez que existem seis faces, cada uma com uma área de a 2 ). Assim, a expressão para ∆G é a seguinte:

Δ G = a 3 Δ G v + 6 a 2 γ

A diferenciação dessa expressão em relação a a é:

d Δ G d a   = d ( a 3 Δ G v ) d a + d ( 6 a 2 γ ) d a = 3 a 2 Δ G v + 12 a γ

Se definirmos essa expressão igual a zero, temos:

3 a 2 Δ G v + 12 a γ = 0

E depois resolver para a ( = a * ) , temos:

a * =   - 4 γ Δ G v

A substituição desta expressão por a na expressão acima para ∆G produz uma equação para ∆G* como

Δ G * = ( a * ) 3 Δ G v + 6 ( a * ) 2 γ = ( - 4 γ Δ G v ) 3 Δ G v + 6 γ ( - 4 γ Δ G v ) 2 = 32 γ 3 ( Δ G v ) 2

Passo 2

Na letra b:

Δ G v para um cubo, isto é ( 32 ) [ γ 3 ( Δ G v ) 2 ]   , que é maior que para uma esfera, ou seja, ( 16 π 3 ) [ γ 3 ( Δ G v ) 2 ] = ( 16.8 ) [ γ 3 ( Δ G v ) 2 ] . A razão para isso é que a proporção superfície-volume de um cubo é maior que para uma esfera.

Resposta

  1. Δ G * = ( a * ) 3 Δ G v + 6 ( a * ) 2 γ = ( - 4 γ Δ G v ) 3 Δ G v + 6 γ ( - 4 γ Δ G v ) 2 = 32 γ 3 ( Δ G v ) 2
  2. Δ G v para um cubo, isto é ( 32 ) [ γ 3 ( Δ G v ) 2 ]   , que é maior que para uma esfera, ou seja, ( 16 π 3 ) [ γ 3 ( Δ G v ) 2 ] = ( 16.8 ) [ γ 3 ( Δ G v ) 2 ] . A razão para isso é que a proporção superfície-volume de um cubo é maior que para uma esfera.
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