Considere o sistema cuja função de transferência é:
Projete um compensador de atraso de modo que o fator de amortecimento seja e que o tempo de acomodação para uma porcentagem de seja .
Deseja-se que o erro em regime permanente para uma entrada rampa seja de
Passo 1
Precisamos determinar , e da função de transferência do compensador que satisfaça os critérios do enunciado.
O primeiro passo é definir o polo dominante, e para isso precisamos de e . O valor de já foi dado no enuciado e podemos calcular como abaixo:
O polo dominante pode ser encontrado pela fórmula:
Portanto:
Passo 2
O próximo passo é determinar a relação entre o polo e o zero do compensador, já que é isso que fará com que o erro seja reduzido.
Desejamos um erro de para uma entrada rampa. A equação para calcular o erro para uma entrada rampa é dada abaixo:
A dedução e explicação para essa expressão você encontra na aula de erros em regime permanente. Se você não t[a lembrado, dá uma revisadinha lá.
Substituindo nossas funções de transferência e assumindo que o ganho do compensador é :
Passo 3
Verificamos então que o zero deve ser dez vezes maior que o polo.
Sendo assim, devemos arbitrar um valor para o polo e botar o zero dez vezes maior. Lembrando que é preciso que ambos os valores sejam bem baixos. Sendo assim, vamos arbitrar:
Passo 4
Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:
Só resta então calcular o valor do ganho .
Vamos colocar nossos polos e zeros no diagrama de lugar das raízes para conseguir calcuar o ganho do compensador.
Para calcular o ganho do compensador, devemos usar o critério do módulo, que diz que o produto de todos os módulos é igual a . Sendo que os módulos podem ser calculados como a distância de cada zero/polo ao polo dominante que está repesentado pelo ponto preto.
O polo dominantes, como nós vimos, fica em
Sendo assim, precisamos calcular essas distâncias:
Usando o critério do módulo:
O módulo dos zeros fica no numerador e dos polos no denominador. Precisamos calcular esses módulos agora:
Portanto: