Exercícios Resolvidos de Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada:

  1. r = 3 cos ⁡ θ
  2. z 2 sin ⁡ θ = r 3

Passo 1

Agora, temos as expressões em coordenadas cilíndricas e queremos achar as expressões em coordenadas cartesianas.

Passo 2

  1. Temos a expressão r = 3 cos ⁡ θ e queremos obtê-la em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar as seguintes relações:
  2. r = x 2 +   y 2   ( 1 )

    x = r cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = x r → cos ⁡ θ = x x 2 +   y 2     ( 2 )

    z = z       ( 3 )

    Substituindo as relações ( 1 ) ,   ( 2 ) e ( 3 ) na expressão do enunciado, temos:

    r = 3 cos ⁡ θ →   x 2 +   y 2 = 3 cos ⁡ θ   ( 4 )

    Assim, substituindo a relação ( 5 ) em ( 4 ) , temos:

    x 2 +   y 2 = 3 x x 2 +   y 2

    Rearanjando a expressão:

    x 2 +   y 2 = 3 x

    x - 3 2 2 + y 2 = 9 4

    Chegamos na expressão que queríamos. O enunciado não nos pediu para identificar a cônica, mas por motivo de curiosidade essa é a expressão de uma cíircunferência de centro C 3 2 ,   0 e raio r = 3 2 .

    Passo 3

  3. z 2 sin ⁡ θ = r 3

Fazendo o mesmo passo a passo do item anterior e utilizando as relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) e além dessas:

sin ⁡ θ = y x 2 +   y 2

Vamos substituir as relações na equação que nos foi dada:

z 2 sin ⁡ θ = r 3

z 2 y x 2 +   y 2 = ( x 2 +   y 2 ) x 2 +   y 2

Rearranjando a expressão, temos:

z 2 y = ( x 2 +   y 2 ) 2

Prontinho!! Chegamos na expressão que queríamos!!

Resposta

a )   x - 3 2 2 + y 2 = 9 4

b )   z 2 y = ( x 2 +   y 2 ) 2