Exercícios Resolvidos de Coordenadas Esféricas

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Enunciado

As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas em longitude e latitude usadas na navegação. Para ver como, vamos definir um sistema de coordenadas retangulares (ou cartesianas) com sua origem no centro da Terra, o seu eixo zz  positivo passando pelo Pólo Norte e o seu eixo xx positivo passando pelo meridiano principal. Supondo a Terra uma esfera de raio  ρ = 4000 ρ = 4000   m i l h a s , então cada ponto sobre a Terra tem coordenadas esféricas da forma ( 4000 ,   θ ,   ϕ ) ( 4000 ,   θ ,   ϕ ) , onde ϕ ϕ  e  θ θ determinam a latitude e a longitude do ponto. É comum especificar longitudes em graus leste ou oeste do meridiano principal e latitudes em graus norte ou sul do Equador. A cidade de New Orleans, nos EUA, está localizada a  90 ° 90 °  de longitude oeste e  30 ° 30 °  de latitude norte. Determine as coordenadas retangulares associadas a esta localização (suponha que a distância esteja em milhas).

Passo 1

Parece complicado, mas é de boinhas! Vamos por partes.

Vamos relembrar nossas relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas!

x = ρ s i n ϕ c o s θ

y = ρ s i n ϕ s i n θ

z = ρ c o s ϕ

Belezoca! Agora, pensa comigo.

Uma longitude de  90 ° 90 °  oeste corresponde a 

360 ° - 90 ° = 270 ° , ou seja, θ = 270 ° = 3 π 2 r a d

Enquanto  30 ° 30 °  de latitude norte corresponde a 

ϕ = 90 ° - 30 ° = 60 ° = π 3 r a d .

Só para você entender de onde eu tirei isso a latitude é a coordenada geográfica definida na esfera, então o seu ângulo corresponde a ϕ . Além disso, ela varia de 90 ° em um polo até 0 ° na linha do equador. Já a longitude mostra a localização de um lugar na terra, indo de leste a oeste, ou seja, circundando a Terra. Logo, ela corresponde ao θ .

Assim, as coordenadas esféricas  ( ρ ,   θ ,   ϕ ) ( ρ ,   θ ,   ϕ ) de New Orleans são 

( 4000 , 3 π 2 , π 3 ) ( 4000 , 3 π 2 , π 3 )

Para determinarmos as coordenadas retangulares (cartesianas) , aplicamos as fórmulas de conversão. Assim, obteremos

x = 4000 sin ⁡ π 3 cos ⁡ 3 π 2

x = 4000 . 3 2 . 0 = 0   m i l h a s

y = 4000 sin ⁡ π 3 sin ⁡ 3 π 2

y = 4000 . 3 2 . - 1 = 2000 3   m i l h a s  

z = 4000 cos ⁡ π 3

z = 4000 2 = 2000   m i l h a s

Resposta

x = 0   m i l h a s

y = 2000 3   m i l h a s

z = 2000   m i l h a s