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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Esféricas

Ver Teoria
Exercício 3124

Enunciado

Encontre uma equação em coordenadas esféricas para:

  1. x 2 + y 2 = z
  2. 3 x + 2 y + 6 z = 0

Passo 1

Temos as expressões em coordenadas cartesianas (nossa velha conhecida haha) e queremos passar as expressões para a nossa mais nova conhecida, coordenadas esféricas!! Hehe

Para isso, vamos utilizar as seguintes relações:

z = ρ . cos ⁡ ϕ     ( 1 )

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ       ( 2 )

y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ       ( 3 )

Passo 2

  1. x 2 + y 2 = z

    2. Urilizando as relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) temos:

    x 2 + y 2 = z → ( ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) 2 + ( ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ) 2 = ρ . cos ⁡ ϕ

    Rearranjando:

    ρ sin ⁡ ϕ 2 ( cos ⁡ θ ) 2 + ( sin ⁡ ⁡ θ ) 2 = ρ . cos ⁡ ϕ

    ρ sin ⁡ ϕ 2 =   ρ . cos ⁡ ϕ

    ρ ( ρ sin 2 ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ ) = 0

    Chegamos na nossa expressão!!

    ρ ( ρ sin 2 ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ ) = 0

    Passo 3

  2. 3 x + 2 y + 6 z = 0

O mesmo passo a passo do item anterior, substituindo, teremos:

3 x + 2 y + 6 z = 0 → 3 ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 6 ρ . cos ⁡ ϕ = 0

Rearranjando a expressão:

ρ sin ⁡ ϕ ( 3 cos ⁡ θ + 2 sin ⁡ θ ) + 6 ρ . cos ⁡ ϕ = 0

Acabouuu!! Você tirou de letra!! ;)

Resposta

a )   ρ ( ρ sin 2 ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ ) = 0

b )   ρ sin ⁡ ϕ ( 3 cos ⁡ θ + 2 sin ⁡ θ ) + 6 ρ . cos ⁡ ϕ = 0