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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Esféricas

Ver Teoria
Exercício 4123

Enunciado

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada:

  1. ρ = 3 tan  ⁡ θ

  2. ρ = 9 sec ⁡ ϕ

Passo 1

Nesse exercício nós temos as expressões em coordenadas esféricas e queremos passar para coordenadas cartesianas. Sempre, fique atento em qual coordenada a equação está e para qual devemos passar para não confundir e fazer errado! Blz?

Então, bora passar para as coordenadas cartesianas!!

Passo 2

  1. Temos a seguinte expressão ρ = 3 tan  ⁡ θ Como queremos passar para as coordenadas cartesianas usaremos as seguintes relações:

    2. ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 →   ρ = x 2 + y 2 + z 2       ( 1 )

    tan ⁡ θ = y x     ( 2 )

    cos ⁡ ϕ = z x 2 + y 2 + z 2   ( 3 )

    Substituindo as relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) na expressão ρ = 3 tan  ⁡ θ , teremos:

    ρ = 3 tan  ⁡ θ

    x 2 + y 2 + z 2 = 3 y x

    Elevando os dois lados ao quadrado e rearrumando, teremos:

    x 2 x 2 + y 2 + z 2 - 9 y 2 = 0

    Passo 3

  2. ρ = 9 sec ⁡ ϕ

Utilizando as mesmas relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) , temos:

ρ = 9 sec ⁡ ϕ = 9 cos ⁡ ϕ

x 2 + y 2 + z 2 = 9 x 2 + y 2 + z 2 z

Aqui a vontade de cortar a raíz dessa coisa monstruosa é grande, mas cuidado!

Não podemos fazer isso, porque não necessariamente o número dentro dessa raíz é diferente de zero, beleza??

Então passando o z pro outro lado multiplicando:

z x 2 + y 2 + z 2 = 9 x 2 + y 2 + z 2

Agora passando tudo pro lado esquerdo:

z x 2 + y 2 + z 2 - 9 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Colocando a raíz em evidência, vamos ter:

z - 9 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Elevando os dois lados ao quadrado:

z - 9 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0

Chegamos em mais uma expressão!!

Resposta

a )   x 2 x 2 + y 2 + z 2 - 9 y 2 = 0

b )   z - 9 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0