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Exercícios Resolvidos de Coordenadas Esféricas

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Exercício 2134

Enunciado

Identificar a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é ρ = 2 a cos ⁡ ϕ   ( a > 0   c t e ) .

Passo 1

Esse exercício é um pouco diferente dos outros que já fizemos!! Antes, tínhamos uma expressão e queríamos passar a expressão para outro sistema de coordenadas. Agora, temos uma expressão em coordenadas esféricas e queremos identificar a superfície. Mas, para isso, vamos passar a expressão para as coordenadas cartesianas para ficar mais fácil identificar a superfície. Bora identificar a superfície?

Passo 2

Primeiro, vamos passar a expressão ρ = 2 a cos ⁡ ϕ que está em coordenadas esféricas para as coordenadas cartesianas. Para isso, vamos utilizar as seguintes relações:

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 →   ρ = x 2 + y 2 + z 2

cos ⁡ ϕ = z x 2 + y 2 + z 2  

Substituindo:

ρ = 2 a cos ⁡ ϕ →   x 2 + y 2 + z 2 = 2 a z x 2 + y 2 + z 2  

x 2 + y 2 + z 2 = 2 a z

x 2 + y 2 + ( z - a ) 2 = a 2

Essa superfície é uma esfera de centro ( 0 ,   0 ,   a ) e raio a .

Pronto!! Viu como ficou mais fácil identificar a superfície passando para as coordenadas cartesianas!! ;)

Resposta

E s f e r a   d e   c e n t r o   0 ,   0 ,   a e   r a i o   a