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Exercícios Resolvidos de Deformações em estruturas com inércia variando aleatoriamente (Regra de Simpson)

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Exercício 81234567

Enunciado

Determine o deslocamento angular na extremidade da viga dada abaixo. Dado: E J c = 2,1   .   10 7 k N m 2

Passo 1

Temos aqui um problema em que há uma viga engastada sujeita a um carregamento uniforme de 50   k N / m e essa viga tem inércia variável. O fato dela ter inércia variável que justifica a utilização do método de Simpson.

Para resolver esse problema a gente vai ter que utilizar a equação do método de Simpson:

E J c δ = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s + 2 ∑ η p a r e s + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s

Vamos vendo cada termo conforme formos resolvendo o problema, o mais importante é lembrar que devemos separar as seções, numerá-las e calcular a inércia relativa. Ao fim desse processo a gente aplica o momento de inércia e descobre o deslocamento, beleza? Então vamos seguir!

Passo 2

A primeira coisa que devemos notar é que nossa estrutura é uma estrutura isostática, logo, não precisaremos quebrar nenhum vínculo para determinação de hiperestáticos:

A segunda coisa que devemos fazer é dividir a nossa seção em uma quantidade para de seções, pois lembre-se que para usarmos essa fórmula:

E J c δ = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s + 2 ∑ η p a r e s + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s

Precisamos de uma quantidade par de seções, e que podemos determinar os coeficientes das seções seguindo a seguinte regra:

Todas as seções numeradas com valores impares, serão multiplicadas pelo coeficiente k = 4 . Todas as seções pares com k = 2 e todas as extremas com k = 1 .

Sendo assim teremos que:

Também definimos no nosso exemplo que o valor Δ x = 2 m , além do mais dividimos a nossa estrutura em 4 seções (um número par de seções) com tamanhos iguais.

Agora só falta determinarmos o valor de: η í m p a r e s , η p a r e s e η d a s   e x t r e m i d a d e s .

Sabemos que η nada mais é que uma simplificação da seguinte conta:

M M ¯ J c J

Em que:

M = m o m e n t o s   f l e t o r e s   e m   c a d a   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l  

M ¯ = m o m e n t o   e m   c a d a   s e ç ã o   d e v i d o   a   c a r g a   u n i t á r i a

J = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d a   s e ç ã o   a n a l i s a d a  

J c = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d e   r e f e r e n c i a ,   q u e   g e r a l m e n t e   u s a m o s   a   s e ç ã o   c o m   m e n o r   a l t u r a  

Passo 3

No nosso exemplo isostático queremos saber o deslocamento angular da extremidade da viga, sendo assim podemos dizer que:

  • Diagrama de momentos fletores para o carregamento externo para cada uma das seções será

  • Diagrama de momentos fletores devido a carga unitária no ponto e na direção que queremos saber o deslocamento, que nesse caso é o deslocamento angular:

E agora por fim só precisamos relacionar os J e J c .

No caso temos para nossa seção duas possibilidades, que seria o caso de J c e 4 J c , e nesse caso usaremos como referência o menor.

Se substituirmos na fórmula teremos que:

M M ¯ J c J

Passo 4

Como você pode ver, temos muitos valores para trabalhar, ao invés de fazer um a um de maneira desorganizada, podemos fazer essa tabelinha aqui pra ajudar a gente.

No fim basta fazer:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E assim determinar as deformações no nosso sistema.

Perceba que nas seções 1 e 3, que são intermediarias, usamos a média entre as seções para determinar a inércia relativa entre as seções.

Substituindo na fórmula teremos que:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E J c δ = 2 3 320 + 1152 + 640 + 128 = 2240

E J c = 2,1   .   10 7 k N m 2

2,1   .   10 7 .   δ = 2240

δ = 0,107   r a d

Resposta

δ = 0,107   r a d