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Exercícios Resolvidos de Deformações em estruturas com inércia variando aleatoriamente (Regra de Simpson)

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Exercício 41235678

Enunciado

Determine o deslocamento do ponto médio da viga abaixo. Dado E J c = 3.10 5   k N m 2

Passo 1

Temos aqui um problema em que há uma viga engastada sujeita a um momento de 7 0   k N . m e essa viga tem inércia variável. O fato dela ter inércia variável que justifica a utilização do método de Simpson.

Para resolver esse problema a gente vai ter que utilizar a equação do método de Simpson:

E J c δ 10 = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s   ( 10 ) + 2 ∑ η p a r e s ( 10 ) + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s ( 10 )

E J c δ 11 = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s ( 11 ) + 2 ∑ η p a r e s ( 11 ) + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s ( 11 )

Pode ficar tranquilo que vamos vendo cada termo conforme formos resolvendo o problema, o mais importante é lembrar que devemos separar as seções, numerá-las e calcular a inércia relativa. Ao fim desse processo a gente aplica o momento de inércia e descobre o deslocamento, beleza? Então vamos seguir!

Passo 2

A primeira coisa que devemos notar é que nossa estrutura é uma estrutura hiperestática, logo, precisaremos quebrar um vínculo para determinação de hiperestáticos. Vai ficar da seguinte forma:

A segunda coisa que devemos fazer é dividir a nossa seção em uma quantidade para de seções, pois lembre-se que para usarmos essa fórmula:

E J c δ 10 = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s   ( 10 ) + 2 ∑ η p a r e s ( 10 ) + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s ( 10 )

E J c δ 11 = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s ( 11 ) + 2 ∑ η p a r e s ( 11 ) + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s ( 11 )

Precisamos de uma quantidade par de seções, e que podemos determinar os coeficientes das seções seguindo a seguinte regra:

Todas as seções numeradas com valores impares, serão multiplicadas pelo coeficiente k = 4 . Todas as seções pares com k = 2 e todas as extremas com k = 1 .

Sendo assim teremos que:

Também definimos no nosso exemplo que o valor Δ x = 2 m , além do mais dividimos a nossa estrutura em 4 seções (um número par de seções) com tamanhos iguais.

Agora só falta determinarmos o valor de: η í m p a r e s , η p a r e s e η d a s   e x t r e m i d a d e s .

Sabemos que η nada mais é que uma simplificação da seguinte conta:

M M ¯ J c J

Em que:

M = m o m e n t o s   f l e t o r e s   e m   c a d a   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l  

M ¯ = m o m e n t o   e m   c a d a   s e ç ã o   d e v i d o   a   c a r g a   u n i t á r i a

J = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d a   s e ç ã o   a n a l i s a d a  

J c = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d e   r e f e r e n c i a ,   q u e   g e r a l m e n t e   u s a m o s   a   s e ç ã o   c o m   m e n o r   a l t u r a  

Passo 3

No nosso exemplo queremos descobrir as reações de apoio, sendo assim podemos dizer que:

  • Diagrama de momentos fletores para o carregamento externo para cada uma das seções será

  • Diagrama de momentos fletores devido a carga unitária:

E agora por fim só precisamos relacionar os J e J c .

Se substituirmos na fórmula teremos que:

M M ¯ J c J

Passo 4

Como você pode ver, temos muitos valores para trabalhar, ao invés de fazer um a um de maneira desorganizada, podemos fazer essa tabelinha aqui pra ajudar a gente. Só que desta vez vamos fazer duas tabelas.

Começando pelo deslocamento δ 10 :

No fim basta fazer:

E J c δ 10 = ∆ x 3 ∑ K η

E assim determinar as deformações no nosso sistema.

Substituindo na fórmula teremos que:

E J c δ 10 = ∆ x 3 ∑ K η

E J c δ 10 = 2 3 - 560 - 554,4 - 70 = - 789,6

δ 10 = - 789,6 3.10 5 = - 2,632   m m

Passo 5

Agora para o deslocamento δ 11 .

No fim basta fazer:

E J c δ 11 = ∆ x 3 ∑ K η

E assim determinar as deformações no nosso sistema.

Substituindo na fórmula teremos que:

E J c δ 11 = ∆ x 3 ∑ K η

E J c δ 11 = 2 3 64 + 47,52 + 8 + 5,28 = 83,2

δ 11 = 83,2 3.10 5 = 0,277   m m

Passo 6

Agora é só somar os resultados:

δ = δ 10 + δ 11

δ = - 2,632 + 0,277 = - 2,35   m m

Resposta

δ = - 2,35   m m