Correção do Fator de Potência

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Teoria

A maioria dos eletrodomésticos utilizados na nossa casa (como máquina de lavar roupa, ar-condicionado e refrigeradores) e a maioria dos motores nas indústrias, são cargas indutivas e operam com um fator de potência baixo e com atraso. Por conta disso, é necessário fazer a correção do fator de potência.

Procedimento de correção

O processo de aumentar o fator de potência sem alterar a tensão ou corrente para a carga original é conhecido com correção do fator de potência. E como a gente faz isso? Colocando um capacitor em paralelo com a carga indutiva.

Uma das coisas em que estaremos interessados, será calcular o valor do capacitor inserido em paralelo para corrigir o fator de potência. Lembrando que:

Q = V R M S × I C         ( i )

De acordo com a Lei de Ohm:

I c = V R M S X c     ( i i )

Além disso:

X C = 1 ω × C           ( i i i )

Substituindo ( i i ) em i :

Q = V R M S × V R M S X c  

Q = V R M S 2 X C

Finalmente, substituindo ( i i i ) na equação deduzida acima:

Q = V R M S 2 1 ω × C

Q = ω C V R M S 2

C = Q C ω V R M S 2

O valor de Q c é dado pela variação de potência reativa quando há a correção do fator de potência. Ou seja, diminuímos a potência reativa. Logo:

Q C = Q a n t e s - Q d e p o i s

Vamos resolver um exemplo para você entender melhor.

Supondo que haja uma carga conectada à rede elétrica de 120 V   ( R M S ) , 60 Hz, que absorva da rede 6 k W com um fator de potência atrasado de   0,85 . Determinar o valor da capacitância necessária para elevar o fator de potência para 0,95 .

Passo 1:

Como foi dito no enunciado, o fator de potência é atrasado. Isso significa que a carga é predominantemente indutiva e, portanto, teremos que corrigir o fator de potência.

Identificando os dados do enunciado:

P a n t e s = 6 k W      

V R M S = 120 V      

f = 60 H z  

cos ⁡ θ a n t e s = 0,85    

cos ⁡ θ d e p o i s = 0,95

Passo 2:

O ângulo do fator de potência antes da correção é:

cos - 1 ⁡ 0,85 = 31,79 °

Agora, precisamos calcular a potência reativa antes da correção do fator de potência. Para isso, temos que calcular a potência aparente:

S a n t e s = P a n t e s cos ⁡ θ a n t e s = 6 × 10 3 0,85 = 7058,82   V A

Logo:

Q a n t e s = S a n t e s × s e n   θ a n t e s   = 7058,82 × s e n 31,79 ° = 3718,47   V A r

Passo 3:

O ângulo do fator de potência depois da correção será:

cos - 1 ⁡ 0,95 = 18,19 °

Quando colocamos o capacitor para corrigir o fator de potência, a potência ativa não muda. Então, para calcular a potência aparente depois da correção do FP, utilizaremos a mesma potência ativa:

S d e p o i s = P d e p o i s cos ⁡ θ d e p o i s = 6 × 10 3 0,95 = 6315,79   V A

Logo, a potência reativa será:

Q d e p o i s = S d e p o i s × s e n   θ d e p o i s   = 6315,79 × s e n 18,19 ° = 1972,1   V a r

Passo 4:

Agora já temos todos os dados para calcular o valor do capacitor. Falta só calcular o valor de Q C .

Q C = Q a n t e s - Q d e p o i s

Q C = 3718,47 - 1972,1

Q C = 1746,37   V A r  

Logo, vamos calcular o valor do capacitor:

C = Q C ω V R M S 2

C = 1746,37 2 × π × 60 × 120 2

C = 321,7 µ F

Agora é fazer bastante exercício!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um motor CA com impedância Z L = 4,2 + j 3,6 Ω é alimentado por uma fonte de 220V e 60Hz.

  1. Determine o FP, P e Q.
  2. Determine o capacitor necessário para ser conectado em paralelo com o motor de modo que o fator de potência seja corrigido para a unidade.

Passo 1

Vamos começar pelo fator de potência, já que foi fornecido o valor da impedância do circuito. Lembrando que o fator de potência é o cosseno do ângulo da impedância. Então, passando a impedância para a forma polar:

Z L = 5,53 ∠ 40,6 ° Ω

θ F P = 40,6 °

cos ⁡ θ F P = 0,7592

Passo 2

O circuito do problema é este:

Precisamos, então, calcular a corrente do circuito. Então, de acordo com a Lei de Ohm:

I R M S = V R M S Z L = 220 5,53 ∠ 40,6 ° = 39,78 ∠ - 40,6 °   A  

Passo 3

Agora já podemos calcular a potência ativa:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ F P

P = 220 × 39,78 × cos ⁡ 40,6 °

P = 6644,83   W

Passo 4

Calculando a potência reativa:

Q = V R M S I R M S sen ⁡ θ F P

Q = 220 × 39,78 × sen ⁡ 40,6 °

Q = 5695,31   V A R

Passo 5

Precisamos, agora, calcular o valor do capacitor que corrige o fator de potência para o valor unitário. Ou seja:

cos ⁡ θ d e p o i s = 1

Ou seja: pede-se que o ângulo do fator de potência após a correção seja θ d e p o i s = 0 ° . Isso quer dizer que:

Q d e p o i s = S d e p o i s × s e n   θ d e p o i s

Sendo que:

s e n   θ d e p o i s = s e n   0 ° = 0

Logo:

Q d e p o i s = S d e p o i s × 0

Q d e p o i s = 0   V A R

Passo 6

A fórmula para o cálculo do capacitor para correção do FP é essa:

C = Q C ω V R M S 2

Logo, falta calcularmos Q C :

Q C = Q a n t e s - Q d e p o i s

Q C = 5695,31 - 0

Q C = 5695,31   V A R

Passo 7

Finalmente:

C = 5695,31 2 × π × 60 × 220 2

C = 312   µ F

Resposta

a )   F P = c o s θ F P = 0,7592

P = 6644,83   W

Q = 5695,31   V A R

b )     C = 312   µ F

Exercício Resolvido #2

Uma fonte de 120   V   R M S , 60   H z alimenta duas cargas conectadas em paralelo, como mostra a figura abaixo.

a Determine o fator de potência da associação em paralelo. ( b ) Calcule o valor da capacitância conectada em paralelo que elevará o fator de potência para um valor unitário.

Passo 1

Para determinar o fator de potência da associação em paralelo vamos calcular a potência complexa de cada carga e depois somá-las.

S = S 1 + S 2

O ângulo da potência complexa total será o ângulo do fator de potência. Para isso, vamos usar muito o triângulo das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência complexa relacionada a carga 1. Sobre essa carga, sabemos:

P 1 = 24   k W

F P = 0,8   a t r a s a d o

Como o fator de potência é atrasado, o ângulo é positivo e será:

θ 1 = cos - 1 ⁡ 0,8

θ 1 = 36,87 °

Utilizando o triângulo das potências, temos:

cos ⁡ θ 1 = P 1 S 1     →     S 1 = P 1 cos ⁡ θ 1

Então, a potência aparente da primeira carga será:

S 1 = 24 0,8

S 1 = 30   k V A

Agora que encontramos a potência aparente e o ângulo do fator de potência, já podemos determinar a potência complexa da primeira carga:

S 1 = S 1 ∠ θ 1

S 1 = 30 ∠ 36,87 °   k V A

Passando para forma retângular:

S 1 = 24 + j 18   k V A

Passo 3

Agora vamos calcular a potência complexa relacionada a carga 2. Sobre essa carga, sabemos:

P 2 = 4 0   k W

F P = 0,95   a t r a s a d o

Como o fator de potência é atrasado, o ângulo é positivo e será:

θ 2 = cos - 1 ⁡ 0,95

θ 2 = 18,19 °

Utilizando o triângulo das potências, temos:

cos ⁡ θ 2 = P 2 S 2     →     S 2 = P 2 cos ⁡ θ 2

Então, a potência aparente da segunda carga será:

S 2 = 40 0,95

S 2 = 42,1   k V A

Agora que encontramos a potência aparente e o ângulo do fator de potência, já podemos determinar a potência complexa da segunda carga:

S 2 = S 2 ∠ θ 1

S 2 = 42,1 ∠ 18,19 °   k V A

Passando para forma retangular:

S 2 = 40 + j 13,14   k V A

Passo 4

Agora vamos somá-las:

S = S 1 + S 2

S = 24 + j 18   + 40 + j 13,14

S = 64 + j 31,14   k V A

Agora vamos passar para a formula polar, já que o ângulo da potência complexa é igual ao ângulo do fator de potência.

S = 71,17 ∠ 25,95 °   k V A

Portanto, o fator de potência será:

F P = cos ⁡ 25,95 °

F P = 0,899

Passo 5

Precisamos, agora, calcular o valor do capacitor que corrige o fator de potência para o valor unitário. Ou seja:

cos ⁡ θ d e p o i s = 1

Ou seja: pede-se que o ângulo do fator de potência após a correção seja θ d e p o i s = 0 ° . Isso quer dizer que:

Q d e p o i s = S d e p o i s × s e n   θ d e p o i s

Sendo que:

s e n   θ d e p o i s = s e n   0 ° = 0

Logo:

Q d e p o i s = S d e p o i s × 0

Q d e p o i s = 0   V A R

Além disso, como S = R + j Q , antes da correção a potência reativa é:

Q a n t e s = 31,14   k V A R

Passo 6

A fórmula para o cálculo do capacitor para correção do FP é essa:

C = Q C ω V R M S 2

Logo, falta calcularmos Q C , que corresponde a parcela da potência reativa referente ao banco de capacitores que estamos instalando no circuito.

Q C = Q a n t e s - Q d e p o i s

Q C = 31,14   - 0

Q C = 31,14     k V A R

Passo 7

Finalmente:

C = 31140 2 × π × 60 × 1 20 2

C = 5,74   m F

Resposta

a )   F P = 0,899

b )     C = 5,74   m F

Exercício Resolvido #3

Um motor CA com impedância Z L = 4.2 + j 3.6 Ω é alimentado por uma fonte de 220 V ,   60 H z

(a) Determine FP, P e Q.

(b) Determine o capacitor necessário para ser conectado em paralelo com o motor de modo que o fator de potência seja corrigido para a unidade.

Passo 1

Para calcular o FP, vamos primeiro passar a impedância para a forma polar para facilitar as contas:

Z L = 4.2 + j 3.6 ⇒ 5.53 ∠ 40.6 ° Ω

Então, o Fator de Potência será:

F P = c o s ( 40.6 ° )

F P = 0.7592

Passo 2

Agora, para calcular as potências ativa (P) e reativa (Q), vamos primeiro achar a potência aparente (S):

S = V r m s 2 Z * , onde Z* é o conjugado, ou seja, basta trocar o sinal do ângulo (ou da parte imaginária)

S = ( 220 ) 2 5.53 ∠ - 40.6 ° = 8.74952 ∠ 40.6 °

Passando a potência aparente para a forma retangular, teremos S = 6.64313 + j 5.69411 k V A

Sabemos que a Potência Ativa é a parte real e a Potência Reativa é a parte imaginária, então basta separar.

P = R e ( S ) = 6.64313 k W

Q = I m ( S ) = 5.69411 k V A r

Passo 3

Para corrigir o Fator de Potência para FP =1, ou seja, Potência Reativa nula, vamos adicionar um banco de capacitores e é isso que queremos dimensionar; qual o tamanho do capacitor?

É assim:

Q = V r m s × I C , onde I C é a corrente do capacitor que é I C = V r m s X C

E X C = 1 ω × C

Juntando as três, chegamos em C = Q C ω V r m s 2 , onde Q C = Q a n t e s - Q d e p o i s

Mas… quem é Q a n t e s ?

Q a n t e s   = S a n t e s × s e n θ a n t e s

s e n θ a n t e s = s e n ( 40.6 ° ) = 0.6507

Então,

Q a n t e s   = 5.6933 k V A r

Q d e p o i s   = 0 k V A r

Então, como ω = 2 π × 60

C = 5.6933 376.9911 ×   ( 220 ) 2

C = 312 μ F

Resposta

(a) F P = 0.7592

(b) C = 312 μ F

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