Teoria

E aí, beleza? Agora vamos aprender uma coisa que vai nos facilitar muito, muito mesmo, que é o fasor. Mas o que é isso?

Fasor é um número complexo que representa a amplitude ( V m ) e a fase ( ϕ ) de uma senóide. Ou seja, podemos, por exemplo, expressar a tensão v t = V m cos ⁡ ( ω t + ϕ ) simplesmente assim:

V = V m ∠ ϕ

Viu só? Muito mais simples do que aquelas expressões com senos e cossenos.

Mas temos que ter o cuidado com duas coisas: a tensão ou a corrente têm que estar expressas em cosseno e a frequência tem que ser a mesma para todo o circuito, o que geralmente acontece, para podermos usar a representação fasorial.

Por exemplo, vamos escrever a corrente i t = - 5   s e n ( 40 t + 30 ° ) na forma fasorial.

Nosso primeiro passo é expressar a corrente em cosseno. Como

- s e n 40 t + 30 ° = cos ⁡ 40 t + 30 ° + 90 ° = cos ⁡ ( 40 t + 120 ° )

Logo,

i t = 5 cos ⁡ 40 t + 120 °

Então, a forma fasorial de i é

I = 5 ∠ 120 °

Forma retangular, polar e exponencial

Como o fasor é um número complexo, vamos ver as formas de representá-lo. Podemos representar um número complexo z de três maneiras.

  1. Forma retangular:
  2. z = x + j y

    Onde j = - 1 , x é a parte real e y é a parte imaginária de z .

  3. Forma polar:
  4. z = r ∠ ϕ

    Onde r   é o módulo e ϕ é o ângulo de fase.

  5. Forma exponencial:

z = r   e j ϕ

As formas polar e retangular se relacionam como na figura abaixo:

Portanto, sabendo x e y , podemos determinar r e ϕ fazendo

r = x 2 + y 2 ,                                 ϕ = tan - 1 ⁡ y x

Ou, se conhecemos r e ϕ , podemos obter x e y fazendo

x = r cos ⁡ ϕ   ,                     y = r   s e n   ϕ

Essas relações são muito importantes, porque geralmente para operações de adição e subtração nós utilizamos a forma retangular, enquanto que em multiplicação e divisão utilizamos a forma polar.

Portanto, dependendo do exercício, vamos precisar transformar o fasor de uma forma para outra e vamos fazer isso utilizando essas relações.

Operações com número complexo

Vamos ver como funcionam as operações em números complexos que mais utilizaremos daqui em diante. Para isso, vamos supor que temos dois números complexos genéricos:

z 1 = x 1 + j y 1 = r 1 ∠ ϕ 1               e                 z 2 = x 2 + j y 2 = r 2 ∠ ϕ 2

Adição:

z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + j ( y 1 + y 2 )

Subtração:

z 1 - z 2 = x 1 - x 2 + j y 1 - y 2

Multiplicação:

z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ϕ 1 + ϕ 2

Divisão:

z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ϕ 1 - ϕ 2

Recíproco:

1 z 1 = 1 r 1 ∠ - ϕ 1

Raiz quadrada:

z 1 = r 1   ∠ ϕ 1 / 2

Conjugado Complexo:

z 1 * = x - j y = r 1 ∠ - ϕ 1 = r 1   e - j ϕ 1  

Para você entender melhor, vamos determinar o número complexo dado pela expressão:

5 ∠ 53,13 ° + 10 + j 3 6 + j 5 *

Transformando 5 53,13 ° para forma retangular:

5 ∠ 53,13 ° = 5 cos ⁡ 53,13 ° + j 5   s e n   53,13 ° = 3 + j 4

Substituindo,

( 3 + j 4 ) + 10 + j 3 6 + j 5 *

Fazendo a adição no numerador e sabendo que 6 + j 5 * é igual a ( 6 - j 5 ) , temos

13 + j 7 6 - j 5

Para efetuar a divisão precisamos passar os números para forma polar:

13 + j 7   → r = 13 2 + 7 2 = 14,76   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ 7 13 = 28,3 °

6 - j 5   → r = 6 2 + 5 2 = 7,81   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 5 6 = - 39,8 °

Portanto,

14,76 ∠ 28,3 ° 7,81 ∠ - 39,8 ° = 14,76 7,81 ∠ 28,3 ° - - 39,8 °

1,89 ∠ 68,1 °

Diagrama fasorial

Em alguns exercícios pode ser pedido o diagrama fasorial, mas não é preciso se desesperar. Esse diagrama nada mais é do que a representação gráfica dos fasores.

Por exemplo, vamos fazer o digrama fasorial dos fasores V = 5 ∠ 45 ° e I = 3 ∠ - 30 ° .

Como podemos ver, os fasores são como vetores e por isso são representados por uma letra maiúscula em negrito. Eles apresentam módulo e “direção”, que no caso é o ângulo de fase do fasor.

Além disso, em um mesmo circuito, eles apresentam a mesma frequência angular, ou seja, é como se ambos tivessem a mesma rotação de ω   r a d / s . Por isso, a representação em forma de fasor é dita como a representação no domínio da frequência.

Então a gente tem as seguintes representações:

v t = V m cos ⁡ ω t + ϕ                     ↔                       V = V m ∠ ϕ

                                        D o m í n i o   d o   t e m p o                                       D o m í n i o   d a   f r e q u ê n c i a

Agora é a hora de praticar bastante para fixar o que se aprendeu.

Forma retangular, polar e exponencial

Operações com número complexo

Diagrama fasorial

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais:

a   v t = 21 cos ⁡ ( 4 t - 15 ° )   V

b   i t = - 8   s e n 10 t + 70 °   m A

c   v t = 120   s e n 10 t - 50 °   V

d   i t = - 60 cos ⁡ 30 t + 10 °   m A

Passo 1

Nesse exercício temos que transformar cada sinal para forma fasorial, aquela com módulo e ângulo. Para isso, temos que lembrar que os sinas têm que estar expressos em cossenos.

Passo 2

Na letra ( a ) , temos v t = 21 cos ⁡ ( 4 t - 15 ° ) . Como podemos ver a tensão já está expressa em cosseno. Então podemos passar para forma fasorial diretamente.

V = 21 ∠ - 15 °   V

Passo 3

Na letra ( b ) , a corrente está expressa em termos de seno: i t = - 8   s e n 10 t + 70 ° . Então, nosso primeiro passo é expressá-la em cosseno.

Como, - s e n 10 t + 70 ° = c o s ( 10 t + 70 ° + 90 ° ) , temos:

i t = 8 cos ⁡ ( 10 t + 160 ° )

Agora é só escrever na forma fasorial.

I = 8 ∠ 160 °   m A

Passo 4

Na letra ( c ) , a tensão também está expressa em termos de seno. Vamos expressá-la em cosseno.

Como, s e n 10 t - 50 ° = cos ⁡ ( 10 t - 50 ° - 90 ° ) , temos:

v t = 120   c o s 10 t - 140 °

Agora é só escrever na forma fasorial.

V = 120 ∠ - 140 °   V

Passo 5

Na letra ( d ) , temos   i t = - 60 cos ⁡ 30 t + 10 ° . Como podemos ver, a corrente já está expressa em cosseno, mas com sinal negativo. Para deixarmos com sinal positivo, basta somarmos ou subtrairmos 180 ° no argumento do cosseno:

i t = 60 cos ⁡ 30 t + 10 ° - 180 ° = cos ⁡ 30 t - 170 °

Agora, podemos passar para forma fasorial diretamente.

I = 60 ∠ - 170 °   m A

Resposta

a   V = 21 ∠ - 15 °   V

b   I = 8 ∠ 160 °   m A

c   V = 120 ∠ - 140 °   V

d   I = 60 ∠ - 170 °   m A

Exercício Resolvido #2

Obtenha as senoides correspondentes a cada um dos seguintes fasores:

a   V 1 = 60 ∠ 15 °     V ,     ω = 1

b   V 2 = 6 + j 8     V ,     ω = 40

c   I 1 = 2,8 e - j π / 3   A ,     ω = 377

Passo 1

Na letra ( a ) , o fasor já está na forma polar. Então, podemos obter a expressão no domínio do tempo diretamente. Como ω = 1 ,

v 1 t = 60 cos ⁡ ( t + 15 ° )   V

Passo 2

Na letra ( b ) , o fasor está na forma retangular. Então, vamos passá-lo para forma polar:

6 + j 8     →     V m = 6 2 + 8 2 = 10   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ 8 6 = 53,13 °

V 2 = 10 ∠ 53,13 °     V

Agora, podemos escrever a expressão no domínio do tempo. Sabendo que ω = 40 , temos:

v 2 t = 10 cos ⁡ ( 40 t + 53,13 ° )   V

Passo 3

Na letra ( c ) , o fasor está na forma exponencial:

I 1 = 2,8 e - j π / 3

Desta forma, já conhecemos I m e ϕ .

I m = 2,8               e                 ϕ = - π / 3

Portanto, como ω = 377 , temos a seguinte senoide:

i 1 t = 2,8 cos ⁡ ( 377 t - π / 3 )   A

Resposta

a   v 1 t = 60 cos ⁡ ( t + 15 ° )   V

b   v 2 t = 10 cos ⁡ ( 40 t + 53,13 ° )   V

c   i 1 t = 2,8 cos ⁡ ( 377 t - π / 3 )   A

Exercício Resolvido #3

Duas tensões, v 1 e v 2 , aparecem em série de modo que sua soma é v = v 1 + v 2 . Se v 1 = 10 cos ⁡ ( 50 t - π / 3 )   V e v 2 = 12 cos ⁡ 50 t + 30 °   V , determine v .

Passo 1

Para determinar v , vamos encontrar o seu fasor V , porque no domínio do tempo é complicado somarmos v 1 e v 2 já que são senoides defasadas e com amplitudes diferentes. Então nosso primeiro passo é encontrar os fasores de v 1 e v 2 :

V 1 = 10 ∠ - π / 3 = 10 ∠ - 60 °   V

V 2 = 12 ∠ 30 °   V

É importante ressaltar que só podemos fazer isso porque v 1 e v 2 possuem a mesma frequência angular:

ω = 50   r a d / s

Passo 2

Agora, vamos passar os fasores para forma retangular para efetuarmos a soma.

V 1 = 10 ∠ - 60 ° = 10 cos ⁡ - 60 + j 10   s e n ( - 60 )

V 1 = 5 - j 8,66

V 2 = 12 ∠ 30 ° = 12 cos ⁡ 30 + j 12   s e n 30

V 2 = 10,39 + j 6

Somando V 1 e V 2 encontramos V :

V = 5 - j 8,66 + ( 10,39 + j 6 )

V = 15,39 - j 2,66   V

Passo 3

Para voltarmos para o domínio do tempo, primeiro temos que passar V para forma polar:

15,39 - j 2 , 66     →     V m = 15,39 2 + 2,66 2 = 15,62   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 2,66 15,39 = - 9,8 °

V = 15,62 ∠ - 9,8 °     V

Agora que temos o fasor na forma polar podemos voltar para o domínio do tempo e encontrar v . Como ω = 50   r a d / s , temos:

v = 15,62 cos ⁡ 50 t - 9,8 °   V

Resposta

v = 15,62 cos ⁡ 50 t - 9,8 °   V

Exercício Resolvido #4

Dada uma rede onde a tensão é 50 ∠ 0 ˚ V e a frequência 60Hz. Converta para o domínio do tempo.

Passo 1

Bom o primeiro passo é descobrir a frequência angular ω :

ω = 2 * π * f

ω = 2 * π * 60

ω = 377   r a d / s

Passo 2

Agora já podemos montar a expressão:

V =   V m   c o s   ( ω t +   ϕ )

V =   50   c o s   ( 377 t +   0 ˚ ) V

Resposta

V =   50   c o s   ( 377 t ) V

Exercício Resolvido #5

Calcule os números complexos a seguir e expresse seus resultados na forma retangular:

a   60 ∠ 45 ° 7,5 - j 10 + j 2  

b   20 + ( 16 ∠ - 50 ° ) ( 5 + j 12 )

Passo 1

Sempre que vamos trabalhar com números complexos temos que ter em mente que nas operações de adição e subtração nós utilizamos a forma retangular, enquanto nas de multiplicação e divisão utilizamos a forma polar.

Passo 2

Na letra a , o primeiro passo é passar ( 7,5 - j 10 ) para forma polar:

7,5 - j 10   →   r = 7,5 2 + 10 2 = 12,5   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 10 7,5 = - 53,13 °

Substituindo e efetuando a divisão, temos:

60 ∠ 45 ° 12,5 ∠ - 53,13 ° + j 2

4,8 ∠ 98,13 ° + j 2

Passo 3

Agora, temos que passar ( 4,8 ∠ 98,13 ° ) para forma retangular para efetuarmos a soma.

4,8 ∠ 98,13 °   = 4,8 cos ⁡ 98,13 ° + j 4,8   s e n   98,13 ° = - 0,679 + j 4,75

Substituindo e somando os números complexos, temos:

- 0,679 + j 4,75 + j 2

- 0,679 + j 6,75

Passo 4

Na letra b , o primeiro passo é passar ( 5 + j 12 ) para forma polar:

5 + j 12   →   r = 5 2 + 12 2 = 13   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ 12 5 = 67,38 °

Substituindo e efetuando a multiplicação, temos:

20 + ( 16 ∠ - 50 ° ) ( 13 ∠ 67,38 ° )

20 + 208 ∠ 17,38 °

Passo 5

Agora, temos que passar 208 ∠ 17,38 ° para forma retangular para efetuarmos a soma.

208 ∠ 17,38 °   = 208 cos ⁡ 17,38 ° + j 208   s e n   17,38 ° = 198,5 + j 62,13

Substituindo e somando os números complexos, temos:

20 + 198,5 + j 62,13

218,5 + j 62,13

Resposta

a - 0,679 + j 6,75

b   218,5 + j 62,13

Exercício Resolvido #6

Calcule os números complexos a seguir e deixe seus resultados na forma polar:

a   5 ∠ 30 ° 6 - j 8 + 3 ∠ 60 ° 2 + j  

b   ( 10 ∠ 60 ° ) ( 35 ∠ - 50 ° ) 2 + j 6 - ( 5 + j )

Passo 1

Sempre que vamos trabalhar com números complexos temos que ter em mente que nas operações de adição e subtração nós utilizamos a forma retangular, enquanto nas de multiplicação e divisão utilizamos a forma polar.

Passo 2

Na letra a , o primeiro passo é passar ( 2 + j ) para forma polar:

2 + j   →   r = 2 2 + 1 2 = 2,236   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ 1 2 = 26,56 °

Substituindo e efetuando a divisão, temos:

5 ∠ 30 ° 6 - j 8 + 3 ∠ 60 ° 2,236 ∠ 26,56 °

5 ∠ 30 ° 6 - j 8 + 1,34 ∠ 33,44 °

Passo 3

Agora, temos que passar 1,34 ∠ 33,44 ° para forma retangular para efetuarmos a soma que está dentro dos parênteses.

1,34 ∠ 33,44 ° = 1,34 cos ⁡ 33,44 ° + j 1,34   s e n   33,44 ° = 1,12 + j 0,74

Substituindo e somando os números complexos, temos:

5 ∠ 30 ° 6 - j 8 ) + ( 1,12 + j 0,74

5 ∠ 30 ° 7,12 - j 7,26

Passo 4

Agora é só passar 7,12 - j 7,26 para forma polar e efetuar a multiplicação.

7,12 - j 7,26   →   r = 7,12 2 + 7,26 2 = 10,17   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 7,26 7,12 = - 45,56 °

Lembrando que na multiplicação de fasores a gente multiplica os módulos e soma os ângulos, temos:

5 ∠ 30 ° 10,17 ∠ - 45,56 °

50,85 ∠ - 15,56 °

Passo 5

Na letra b , podemos efetuar as operações no numerador e denominador diretamente, já que os números complexos estão na forma certa para cada operação.

( 10 ∠ 60 ° ) ( 35 ∠ - 50 ° ) 2 + j 6 - ( 5 + j ) = 350 ∠ 10 ° - 3 + j 5

Passo 6

Agora é só passar - 3 + j 5 para forma polar e efetuar a divisão. Mas quando a parte real do número complexo é negativa, é melhor colocarmos o sinal de menos em evidência e passarmos o que está dentro do parêntese para forma polar.

- 3 + j 5 = - ( 3 - j 5 )

3 - j 5   →   r = 3 2 + 5 2 = 5,83   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 5 3 = - 59 °

Logo, lembrando do sinal de menos:

- 3 - j 5 = - 5,83 ∠ - 59 °

Para deixarmos o módulo do fasor positivo podemos somar ou subtrair 180 ° . Nesse caso, vamos somar 180 ° , mas tanto faz mesmo. Portanto,

- 5,83 ∠ - 59 ° = 5,83 ∠ 121 °

Passo 7

Lembrando que na divisão de fasores a gente divide os módulos e subtrai os ângulos, temos:

350 ∠ 10 ° 5,83 ∠ 121 °

60 ∠ - 111 °

Resposta

a   50,85 ∠ - 15,56 °

b   60 ∠ - 111 °

Exercício Resolvido #7

Seja X = 4 ∠ 40 ° e Y = 20 ∠ - 30 ° . Calcule as quantidades a seguir e expresse seus resultados na forma polar:

a   X + Y X *

b   X - Y *

c   X + Y / X

Passo 1

O enunciado nos forneceu os fasores X e Y na forma polar. Como vimos na teoria, nas operações de adição e subtração nós utilizamos a forma retangular, enquanto que na multiplicação e divisão utilizamos a forma polar.

Então, vamos passar os fasores para forma retangular, porque dessa forma teremos eles expressos das duas formas e poderemos efetuar qualquer operação.

Passo 2

Transformando X e Y para forma retangular:

X = 4 ∠ 40 ° = 4 cos ⁡ 40 ° + j 4   s e n   40 °

X = 3,064 + j 2,571

Y = 20 ∠ - 30 ° = 20 cos ⁡ - 30 ° + j 20   s e n - 30 °

Y = 17,32 - j 10

Além disso, precisamos do conjugado de X . Para isso, basta colocarmos o sinal negativo no ângulo:

X * = 4 ∠ - 40 °

Passo 3

Agora vamos partir para os cálculos. Na letra ( a ) , temos:

X + Y X * = 3,064 + j 2,571 + 17,32 - j 10   ×   4 ∠ - 40 °

X + Y X * = ( 20,384 - j 7,429 )   ×   4 ∠ - 40 °

Passo 4

Agora, precisamos passar ( 20,384 + j 12,571 ) para forma polar antes efetuar a multiplicação.

20,384 - j 7,429     →     r = 20,384 2 + 7,429 2 = 21,695   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 7,429 20,384 = - 20,02 °

Portanto,

X + Y X * = ( 21,695 ∠ - 20,02 ° )   ×   4 ∠ - 40 °

Agora, basta multiplicar os módulos e somar os ângulos:

X + Y X * = 86,78 ∠ - 60,02 °

Passo 5

Na letra ( b ) , temos:

X - Y * = 3,064 + j 2,571 - 17,32 - j 10 *

X - Y * = - 14,256 + j 12,571 *

Para encontrarmos o conjugado na forma retangular basta inverter o sinal da parte imaginária:

X - Y * = - 14,256 - j 12,571

Quando a parte real do número complexo é negativa, é melhor colocarmos o sinal de menos em evidência e passarmos o que está dentro dos parênteses para forma polar.

X - Y * = - ( 14,256 + j 12,571 )

Então, vamos passar 14,256 + j 12,571 para forma polar.

14,256 + j 12,571 →     r = 14,256 2 + 12,571 2 = 19   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ 12,571 14,256 = 41,4 °

Logo, lembrando do sinal de menos:

X - Y * = - 19 ∠ 41,4 °

Para deixarmos o módulo do fasor positivo podemos somar ou subtrair 180 ° . Nesse caso, vamos subtrair 180 ° . Portanto,

X - Y * = 19 ∠ 41,4 ° - 180 °

X - Y * = 19 ∠ - 138,6 °

Passo 6

Na letra ( c ) , temos:

X + Y X = 3,064 + j 2,571 + 17,32 - j 10 4 ∠ 40 °  

X + Y X = 20,384 - j 7,429 4 ∠ 40 °  

Agora, precisamos passar ( 20,384 + j 12,571 ) para forma polar antes efetuar a multiplicação.

20,384 - j 7,429     →     r = 20,384 2 + 7,429 2 = 21,695   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 7,429 20,384 = - 20,02 °

Portanto,

X + Y X = 21,695 - 20,02 ° 4 ∠ 40 °  

Agora, basta dividir os módulos e subtrair os ângulos:

X + Y X = 5,42 ∠ - 60,02 °

Resposta

a   X + Y X * = 86,78 ∠ - 60,02 °

b   X - Y * = 19 ∠ - 138,6 °

c   X + Y / X   = 5,42 ∠ - 60,02 °

Exercício Resolvido #8

Usando fasores, determine:

a   3 cos ⁡ 20 t + 10 ° - 5 cos ⁡ ( 20 t - 30 ° )

b   20 sen ⁡ 400 t + 10 cos ⁡ ( 400 t + 60 ° ) - 5   s e n ( 400 t - 20 ° )

Passo 1

No domínio do tempo é complicado efetuarmos essas operações, já que são senoides defasadas e com amplitudes diferentes. Então, utilizaremos fasores para efetuarmos essas contas. É importante ressaltar que para podemos fazer isso é necessário que a frequência ω seja a mesma.

Passo 2

Na letra ( a ) , temos:

3 cos ⁡ 20 t + 10 ° - 5 cos ⁡ ( 20 t - 30 ° )

Como as duas parcelas estão escritas em termo de cosseno, podemos transformá-los diretamente para fasores:

3 ∠ 10 ° - 5 ∠ - 30 °

Passo 3

Agora, para efetuarmos essa subtração precisamos passar os dois fasores para forma retangular:

3 ∠ 10 ° = 3 cos ⁡ 10 ° + j 3   s e n   10 ° = 2,95 + j 0,52

5 ∠ - 30 ° = 5 cos ⁡ - 30 ° + j 5   s e n - 30 = 4,33 - j 2,5

Efetuando a subtração, temos:

2,95 + j 0,52 - ( 4,33 - j 2,5 )

- 1,38 + j 3,02 = - ( 1,38 - j 3,02 )

Passo 4

Para voltarmos para o domínio do tempo, primeiro temos que passar o resultado que encontramos para forma polar:

1,38 - j 3,02     →     r = 1,38 2 + 3,02 2 = 3,32   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 3,02 1,38 = - 65,44 °

Não podemos esquecer do sinal de menos. Logo,

- 1,38 - j 3,02 = - 3,32 ∠ - 65,44 °

Para deixarmos o módulo do fasor positivo podemos somar ou subtrair 180 ° . Nesse caso, vamos somar 180 ° . Portanto,

- 3,32 ∠ - 65,44 ° = 3,32 ∠ 114,56 °

Agora que temos o fasor na forma polar podemos voltar para o domínio do tempo. Como ω = 20   r a d / s , temos:

3,32 cos ⁡ 20 t + 114,56 °

Passo 5

Na letra ( b ) , precisamos escrever todas as parcelas em termos de cosseno antes de transformá-las para fasores. Então,

20 sen ⁡ 400 t = 20   c o s ( 400 t - 90 ° )

- 5   s e n 400 t - 20 ° = 5   c o s 400 t - 20 ° + 90 °

Portanto, temos a seguinte expressão com todas as parcelas escritas em termos de cosseno:

20   c o s 400 t - 90 ° + 10 cos ⁡ ( 400 t + 60 ° ) + 5   c o s 400 t + 70 °

Passo 6

Agora, vamos escrever a expressão na forma fasorial.

20 ∠ - 90 ° + 10 ∠ 60 ° + 5 ∠ 70 °

Para efetuar essas somas precisamos passar cada fasor para forma retangular:

20 ∠ - 90 ° = - j 20

Quando temos o ângulo de 90 ° ou - 90 ° , passamos de uma forma para outra rapidamente, sem efetuar conta.

Isso ocorre porque se o fasor tem um desses ângulos ele só possui componente no eixo imaginário do plano complexo. Se for - 90 ° ele estará na parte negativa, logo na sua forma retangular terá apenas parte imaginária negativa ( - j ) . Já se for 90 ° sua forma retangular terá apenas parte imaginária positiva ( + j ) .

10 ∠ 60 ° = 10 cos ⁡   60 ° + j 10   s e n   60 ° = 5 + j 8,66

5 ∠ 70 ° = 5 cos ⁡ 70 ° + j 5   s e n   70 ° = 1,71 + j 4,7

Passo 7

Agora sim podemos efetuar as operações.

- j 20 + 5 + j 8,66 + 1,71 + j 4,7 = 6,71 - j 6,64

Para voltarmos para o domínio do tempo, primeiro temos que passar para forma polar:

6,71 - j 6,64     →     r = 6,71 2 + 6,64 2 = 9,44   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 6,64 6,71 = - 44,7 °

Agora que temos o fasor na forma polar podemos voltar para o domínio do tempo. Como ω = 400   r a d / s , temos:

9,44 cos ⁡ 400 t - 44,7 °

Resposta

a   3,32 cos ⁡ 20 t + 114,56 °

b   9,44 cos ⁡ 400 t - 44,7 °

Exercício Resolvido #9

Quando duas resistências estão em paralelo, nós realizamos a resistência equivalente ao realizar o seguinte procedimento:

R e q =   R 1 * R 2 R 1 + R 2

Assim, faça o mesmo com os seguintes valores:

Z 1 = 8 + j 5

Z 2 = 4 - j 3

Descubra Z e q .

Passo 1

Z e q =   Z 1 * Z 2 Z 1 + Z 2

Primeiro de tudo, vamos realizar a soma entre esses dois fasores:

Z 1 +   Z 2 = 8 + j 5 + ( 4 - j 3 )

Z 1 +   Z 2 = 8 + 4 + ( j 5 - j 3 )

Z 1 +   Z 2 = 12 + ( j 2 )

Passo 2

Como não conseguimos multiplicar dois fasores que estão na forma retangular, vamos transformar para a forma polar:

Z 1 = 8 + j 5

r 1 =   8 2 + 5 2

r 1 =   9,43

∅ 1 =   t a n - 1 5 8

∅ 1 =   32,01 °

Z 2 = 4 - j 3

r 2 =   4 2 + - 3 2

r 2 =   5

∅ 2 =   t a n - 1 - 3 4

∅ 2 =   - 36,87 °

Passo 3

Multiplicando esses dois fasores na forma polar teremos:

Z 1 * Z 2 = 8 + j 5 * ( 4 - j 3 )  

Z 1 * Z 2 = 9,43 ∠ 32,01 ° * ( 5 ∠ - 36,87 ° )  

Z 1 * Z 2 = 9,43 * 5 ∠ ( 32,01 - 36,87 ° )

Z 1 * Z 2 = 47,15 ∠ - 4,86 °

Passo 4

Nossa expressão se tornou:

Z e q =   47,15 ∠ - 4,86 ° 12 + j 2

Para fazer a divisão, temos que transformar o divisor para a forma polar:

Z = 12 + j 2

r =   12 2 + 2 2

r =   12,17

∅ =   t a n - 1 2 12

∅ =   9,46 °

Passo 5

Z e q =   47,15 ∠ - 4,86 ° 12,17   ∠ 9,46 °

Z e q =   47,15 12,17     ∠ ( - 4,86 ° - 9,46 ° )  

Z e q =   3,87   ∠ - 14,32 °  

Resposta

Z e q =   3,87   ∠ - 14,32 °  

Exercício Resolvido #10

  1. Determine uma solução para x e y se:
  2. x   + j 4 + 3 x + j y - j 7 = 16 ∠ 0 °

  3. Determine x se:

1 0 ∠ 2 0 ° * x ∠ - 6 0 ° = 30,64 - j 25,72

Passo 1

Vamos fazer a letra a, primeira coisa é transformar o fasor 16 ∠ 0 ° da forma polar para a forma retangular:

16 ∠ 0 ° = 16 + j 0

Como o ângulo era igual a zero, só temos a parcela real.

Passo 2

Vamos fazer as operações entre as formas retangulares:

x   + j 4 + 3 x + j y - j 7 =

4 x + j 4 + y - 7 =  

4 x + j y - 3 =  

Passo 3

Agora vamos igualar os dois lados da equação, lembrando da separação entre a parte real e a parte imaginária.

Parte real:

4 x = 16

x = 4

Parte imaginária:

j y - 3 = j 0

y - 3 = 0

y = 3

Passo 4

Letra b:

Primeiro passo é transformar o fasor 30,64 - j 25,72 da forma retangular para a forma polar:

r =   ( 30,64 ) 2 + ( - 25,72 ) 2

r = 40

∅ =   t a n - 1 - 25,72 30,64

∅ =   - 40 °

Passo 5

Vamos fazer as operações entre as formas polares:

10 ∠ 20 ° * x ∠ - 60 ° =

10 x ∠ 20 ° - 60 ° =

10 x ∠ - 40 ° =

Passo 6

Agora só falta igualar os dois lados:

10 x ∠ - 40 ° = 40 ∠ - 40 °

10 x = 40

x = 4

Resposta

  1. x = 4 e y = 3
  2. x = 4

Exercício Resolvido #11

Qual é o valor de ω que fará que a resposta forçada, V o , na figura, seja zero?

Passo 1

Vamos começar calculando nossas impedâncias:

Z 1 = 2 Ω

Z 2 = 1 j ω C + j ω L

Z 2 = - j ω × 5 × 10 - 3 + j ω ( 20 × 10 - 3 )

Z 2 = - j 0,2 × 10 3 ω + j ω ( 20 × 10 - 3 )

V o = Z 2 Z 1 + Z 2 × V

V o = - j 0,2 × 10 3 ω + j ω ( 20 × 10 - 3 ) - j 0,2 × 10 3 ω + j ω ( 20 × 10 - 3 ) + 2   ( 50 ∠ 0 ° )

Passo 2

Agora, basta igualarmos a equação de V o a zero:

V o = - j 0,2 × 10 3 ω + j ω ( 20 × 10 - 3 ) - j 0,2 × 10 3 ω + j ω ( 20 × 10 - 3 ) + 2   50 ∠ 0 ° = 0

- j ω ( 0.2 × 10 3 ) + j ω ( 20 × 10 - 3 ) = 0

- j ( 0.2 × 10 3 ) + j ω 2 ( 20 × 10 - 3 ) = 0

( 0.2 × 10 3 ) = ω 2 ( 20 × 10 - 3 )

ω 2 = ( 0.2 × 10 3 ) 20 × 10 - 3 = 0.01 × 10 6 = 10000

ω = 100 H z

Resposta

ω = 100   H z

Exercício Resolvido #12

Transforme as senoides a seguir em fasores:

(a) - 20 c o s ( 4 t + 135 ° )

(b) 8 s e n ( 20 t + 30 ° )

(c) 20 c o s ( 2 t ) + 15 s e n ( 2 t )

Passo 1

  1. Essa aqui é bem simples! Basta colocar na forma polar:
  2. - 20 c o s ( 4 t + 135 ° )   ⇒   - 20 ∠ 135 °

    Passo 2

  3. Pra resolver essa letra b, vamos precisar passar de seno para cosseno para colocarmos na forma fasorial polar:

Então, nomeando essa função como f , vamos passá-la para cosseno diminuindo 90 ° de seu ângulo.

f = 8 s e n ( 20 t + 30 ° )

f = 8 c o s ( 20 t + 30 ° - 90 ° )

f = 8 ∠ 30 ° - 90 °

f = 8 ∠ - 60 °

Passo 2

(c) Para essa, vamos somar as duas partes, mas antes, precisamos passar a parte do seno para cosseno para podermos somar

15 s e n ( 2 t )   ⇒ 15 c o s ( 2 t - 90 ° )

Agora, vamos passar as duas partes para suas formas fasoriais polares

20 c o s ( 2 t ) = 20 ∠ 0 °

15 s e n ( 2 t - 90 ° ) = 15 ∠ - 90 °

E para somá-los, o mais fácil é passá-los para a forma retangular:

20 c o s ( 2 t ) = 20 ∠ 0 °   ⇒ 20

15 s e n ( 2 t - 90 ° ) = 15 ∠ - 90 °   ⇒ j 15

Somando vamos ter 20   - j 15 e passando para a forma polar de novo usando as fórmulas:

r = x 2 + y 2 e θ = t a n - 1 y x

Chegamos em

20   - j 15   ⇒ 25 ∠ - 36.86 °

Resposta

(a) - 20 ∠ 135 °

(b) 8 ∠ - 60 °

(c) 25 ∠ - 36.86 °

Exercício Resolvido #13

Se f ( ϕ ) = c o s ϕ + j s e n ϕ , demonstre que f ( ϕ ) = e j ϕ .

Passo 1

Meio complicado né? Mas vamos começar pensar na derivada…

Bom, se nós derivarmos essa função, temos:

d f ( ϕ ) d ϕ =   - s e n ϕ   + j c o s ϕ

Como j 2 =   - 1

j 2 s i n ϕ + j c o s ϕ

j ( c o s ϕ + j s i n ϕ )

e como f ( ϕ ) = c o s ϕ + j s e n ϕ , então

d f ( ϕ ) d ϕ = j f ( ϕ )

Passo 2

Agora vamos começar com as manipulações matemáticas… tem que ter algumas sacadas, mas vamos aprender aqui que é bem fácil!

A gente vai querer integrar dos dois lados, então vamos fazer uma multiplicação cruzada entre o d ϕ e o f ( ϕ )

d f ( ϕ ) f ϕ = j d ( ϕ )

∫ d f ( ϕ ) f ( ϕ ) = ∫ j d ϕ     ⇒ ∫ 1 f ( ϕ ) d ϕ = ∫ j d ϕ  

l n   f ( ϕ = j ϕ + l n ( A )

l n   f ( ϕ - l n ( A )   = j ϕ

l n   f ( ϕ A = j ϕ

  f ( ϕ ) A = e j ϕ (aqui usamos a exponencial para se livrar do l n )

Então,   f ( ϕ ) = A e j ϕ

Passo 3

Agora vamos igualar essa equação que achamos com a do enunciado…

A e j ϕ = c o s ϕ + j s e n ϕ

Para achar o A vamos usar usar a condição inicial para ϕ = 0

A e j 0 = c o s 0 + j s e n 0

A = 1

Substituindo o A = 1 na equação, temos:

f ( ϕ )   = e j ϕ = c o s ϕ + j s e n ϕ

E assim, tá provado!

Resposta

f ( ϕ )   = e j ϕ = c o s ϕ + j s e n ϕ

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