A equação de malha para um circuito R L C série é

d i d t + 2 i + ∫ - ∞ t i   d t = cos ⁡ ( 2 t )   A

Supondo que o valor da integral em t = - ∞ seja zero, determine i ( t ) usando o método de fasores.

Passo 1

Gente, atentemos para duas coisas rápidas aqui: integrar no tempo é equivalente a dividir por j ω no domínio dos fasores e derivar em relação ao tempo é equivalente a multiplicar por j ω . Com isso em mente, vamos analisar nossa equação:

d i d t + 2 i + ∫ - ∞ t i   d t = cos ⁡ ( 2 t )   A

Vamos primeiro passar cos ⁡ ( 2 t ) para forma de fasor! Para isso, podemos fazer uso das seguintes relações:

A ∠ B ° = A cos ⁡ ( ω t + B ° )

A ∠ ( B ° - 90 ° ) = A sen ⁡ ( ω t + B ° )

Assim, podemos escrever:

I j ω + 2 I + I j ω = 1 ∠ 0 °

j 2 I + 2 I - j 0,5 I = 1 ∠ 0 °

I 2 + 1,5 j = 1 ∠ 0 °

I = 1 ∠ 0 ° 2 + 1,5 j

Passo 2

Passando para a forma polar o fasor que está no denominador:

2 + 1,5 j = M ∠ θ

M = ( 2 ) 2 + 1,5 2 = 2,5

θ = tan - 1 ⁡ 1,5 2 = 36,87 °

Logo,

I = 1 ∠ 0 ° 2,5 ∠ 36,87 °

I = 0,4 ∠ - 36 , 87 °

Convertendo o resultado para o domínio do tempo:

i t = 0 , 4 cos ⁡ ( 2 t - 36 , 87 ° )

Resposta

O valor de i ( t ) é igual a:

i t = 0,4 cos ⁡ ( 2 t - 36,87 ° )   A

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