Teorema de Thévenin e Norton

Utilizando a transformação de fontes, vamos transformar as fontes de tensão em série com os resistores em fontes de corrente em paralelo com os resistores.

Próximo passo é calcular os valores de e .

Como as três fontes de corrente estão em paralelo e no mesmo sentido, para obter a corrente total do circuito temos que somar a contribuição de cada fonte de corrente:

Agora temos que calcular a resistência equivalente do circuito. Como todas as resistências estão em paralelo:

Até agora o nosso circuito está assim:

Como foi pedido um circuito equivalente com uma fonte de tensão em série com um resistor, a gente precisa fazer a transformação para o circuito com a fonte de tensão:

Logo:

Portanto:

Podemos usar o teorema de Norton para resolver o circuito acima. Aplicando o teorema ao nosso circuito, podemos substituir a fonte de corrente de e pelo mostrado abaixo:

Conforme exposto

Vamos agora analisar o circuito depois de aplicado o teorema de Norton. Para calcularmos , determinamos primeiro .

é igual a associação série de e .

Vamos agora calcular a corrente que passa pelo circuito:

é igual a corrente que passa por ele multiplicado pelo valor de .

Primeiro vamos calcular a resistência Thévenin do circuito vista pelo resistor . Para isso, vamos substituir as fontes de tensão independentes por curto circuitos:

Se formos medir a resistência Thévenin, percebemos que o resistor está em paralelo com o resistor :

Essa resistência equivalente está em série com o resistor , logo o

Para calcular a tensão em cima do resistor , vamos abrir o circuito e retirar o resistor e verificar qual a tensão aplicada a ele:

Como o circuito está aberto entre os pontos A e B, não circula corrente pelo resistor , assim a tensão entre os pontos A e B pode ser medida pela queda de tensão em cima do resistor .

Para medir a tensão em cima do resistor , podemos realizar um divisor de tensão:

Logo, podemos desenhar o circuito como:

Para fazer os cálculos da letra b, devemos substituir primeiro. Como está em série com o :

A corrente que circula pelos resistores é:

Logo a potência dissipada é igual a:

Substituindo primeiro. Como está em série com o :

A corrente que circula pelos resistores é:

Logo a potência dissipada é igual a:

Primeiro passo é calcular a resistência Thévenin. Para isso, vamos substituir todas as fontes de tensão por curto circuitos:

Podemos ver que em relação aos terminais A e B, os resistores estão em paralelo. Logo:

Para calcular a tensão de Thévenin, vamos manter o circuito em aberto entre os pontos A e B, enquanto retornamos com as duas fontes de tensão:

Podemos definir o sentido da corrente que passa pela malha externa e depois montar a equação da malha.

Pela LKT:

Assim, . Portanto,

Para calcular a fonte de corrente para o equivalente Norton, devemos dividir a tensão de Thévenin pela resistência Thévenin:

E sabemos que a resistência Norton é igual a resistência Thévenin:

Precisamos encontrar o circuito equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais , como no esquema abaixo:

Primeiro, vamos determinar . Para isso, vamos desligar todas as fontes independentes e calcular a resistência equivalente vista pelos terminais :

O resistor de 4 Ω está em paralelo com a associação em série dos dois resistores de 6 Ω:

Agora, precisamos encontrar que é a tensão de circuito aberto nos terminais :

Encontraremos o valor de utilizando o princípio da superposição. Primeiro consideraremos a fonte de tensão de . Desse modo, desligaremos a fonte de corrente, ou seja, vamos substituí-la por um circuito aberto:

Agora, vamos aplicar divisor de tensão para encontrar :

Agora, vamos considerar apenas a fonte de corrente, ou seja, desligaremos a fonte de tensão. Então, vamos substituí-la por um curto-circuito:

Utilizando divisor de corrente:

Logo, pela lei de Ohm:

Logo, pelo princípio da superposição, será a soma das contribuições das duas fontes:

Substituindo:

Logo, o circuito equivalente à esquerda dos terminais , será:

Para finalizar, precisamos encontrar . Para isso, vamos conectar o resistor de à direita dos terminai :

Aplicando a lei de Ohm:

Se a gente analisar, dá pra transformar as fontes de corrente em paralelo com as resistências em fontes de tensão em série com as resistências e, então, o circuito ficará assim:

Lembrar que, após a transformação, o positivo da fonte de tensão fica no lugar da ponta da seta da fonte de corrente.

Agora precisamos calcular o valor de , e :

Agora aplicaremos a LTK na malha para calcularmos a corrente:

Aplicando o equacionamento de malha, com a LKT, na única malha que temos, portanto, a corrente que passar pelo resistor de , é a mesma que passa por todos os outros elementos do circuito.

Agora já temos tudo para calcular o . Só repare no seguinte: pela imagem anterior, podemos ver que, pelo sentido da corrente e pelos sinais da tensão , o resistor está no sentido oposto do que deveria estar.

Isso porque devemos ter uma queda de tensão ao passar por um resistor, mas pela tensão , vemos que a corrente está indo do para o . Logo, está no sentido contrário e, por isso, vamos colocar um sinal negativo no cálculo dele, beleza?

De acordo com a Lei de Ohm:

O circuito equivalente de Norton é igual ao da figura abaixo:

Então, precisaremos calcular e .

Primeiro calcularemos o . Como ele é calculado da mesma forma que o , vamos curto-circuitar a fonte de tensão e substituir a fonte de corrente por um circuito aberto:

Agora, ajeitando o circuito, ele fica assim:

Lembrando que é a resistência vista pelos terminais Portanto:

Agora precisaremos calcular , que é a corrente que passa nos terminais quando este é curto-circuitado:

Podemos utilizar a transformação de fontes para facilitar o cálculo da corrente :

De acordo com a transformação de fontes do circuito acima:

É importante lembrar que quando curto-circuitamos os terminais a corrente passará toda pelo curto-circuito, que é um “caminho mais fácil” do que aquele com o resistor de . Agora temos o circuito abaixo e finalmente podemos calcular a :

Aplicando a LTK ao circuito acima:

Logo, como a corrente de Norton é igual à de curto-circuito:

Sabemos que quando a ponte está em equilíbrio não há a passagem de corrente pelo galvanômetro. Vamos identificar nossos resistores na ponte acima:

Quando a ponte está em equilíbrio, temos a seguinte relação:

Substituindo os valores das resistências:

Agora, precisamos encontrar a corrente que passa pelo galvanômetro quando a ponte está desequilibrada, com .

Encontraremos , substituindo o circuito por seu equivalente de Thévenin nos terminais .

Primeiro, vamos calcular a resistência de Thévenin vista pelos terminais . Para isso, substituiremos a fonte de tensão por um curto-circuito.

Ajeitando o circuito para melhor visualização, observamos que os resistores de e estão em paralelo, assim como os resistores de e . E essas duas combinações em paralelo estão em série com relação aos terminais .

Logo,

Agora, vamos calcular a tensão de Thévenin:

Aplicando divisor de tensão, temos:

Agora, vamos aplicar a LTK:

Substituindo:

Logo, calcularemos I a partir do circuito equivalente de Thévenin abaixo:

Não se espante com o sinal negativo. Ele indica que a corrente flui no sentido oposto ao estabelecido por nós, ou seja, ela flui do terminal para o terminal .

Na letra (a), precisamos encontrar o circuito equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais , como no esquema abaixo:

Primeiro, vamos determinar . Para isso, vamos desligar todas as fontes independentes e calcular a resistência equivalente vista pelos terminais :

Ajeitando melhor o circuito, veremos que os resistores passaram a ficar associados em série:

Agora, precisamos encontrar que é a tensão de circuito aberto nos terminais :

Encontraremos o valor de utilizando o princípio da superposição. Primeiro consideraremos a fonte de tensão de . Desse modo, desligaremos as duas fontes de corrente, ou seja, vamos substituí-las por um circuito aberto:

Como o circuito está aberto, não há circulação de corrente. Logo, não possui queda de tensão nos resistores e será o próprio valor da fonte de tensão.

Agora, vamos considerar apenas a fonte de corrente de , ou seja, desligaremos a fonte de tensão e a fonte de corrente de .

Como os terminais estão abertos, toda a corrente fornecida pela fonte de corrente de fica circulando pela malha fechada, como na figura abaixo:

Logo, pela lei de Ohm:

Agora, vamos considerar apenas a fonte de corrente de , ou seja, desligaremos a fonte de tensão e a fonte de corrente de .

Pelo mesmo motivo do passo anterior, a corrente fornecida pela fonte de corrente de fica circulando pela malha fechada, como na figura abaixo:

Logo, pela lei de Ohm:

Logo, pelo princípio da superposição, será a soma das contribuições das três fontes:

Substituindo:

Logo, o circuito equivalente de Thévenin à esquerda dos terminais , será:

Na letra (b), precisamos encontrar quando . Para isso, vamos conectar o resistor de à direita dos terminai :

Aplicando a lei de Ohm:

A máxima transferência de potência ocorre quando a resistência de Thévenin é igual à resistência conectada aos terminais , ou seja:

Logo,

Para terminar, precisamos calcular a potência máxima, ou seja, a potência para quando :

Pela definição de potência:

Substituindo:

Bom, vamos lá, o que queremos? Determinar a tensão de Thévenin, retirando o componente que queremos analisar, ou seja, , e determinar a tensão no ponto.

Então, vamos a tensão em cima do resistor e montar nosso novo circuito:

Agora, vamos achar nosso . A gente sabe que as tensões vai ser igual à soma das tensões , e pois estão em paralelo.

Então

Mas

E

pois não circula corrente por (circuito aberto). Portanto:

Para calcular , , substituímos as baterias por curto-circuitos e calculamos a resistência equivalente:

Agora nós já temos o modelo equivalente de Thévenin então podemos achar a corrente na malha e a tensão em

E agora que temos a corrente que passa por , achamos