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Circuito RLC com fonte

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Teoria

Resposta ao degrau do circuito RLC série

Fala aí, beleza? No circuito abaixo queremos encontrar como resposta a tensão no capacitor v ( t ) . Como faríamos?

Em t = 0 a chave se fecha e é aplicado ao circuito subitamente a tensão V G . Lembrando que a resposta ao degrau é obtida por uma súbita aplicação de tensão ou corrente pela fonte, a gente pode entender o circuito acima também dessa maneira aqui:

Onde u ( t ) é a função degrau unitário, que tem a seguinte a forma abaixo:

O que queremos, então, é encontrar a tensão no capacitor v ( t ) , sabendo que em t = 0 é aplicado subitamente um degrau de tensão no valor de V G . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO:

Vamos aplicar a LTK no circuito, para t > 0 ,

R i + L d i d t + v = V G

Como, no capacitor

i = C d v d t

Substituindo i , temos

R C d v d t + L d C d v d t d t + v = V G

Arrumando essa bagunça,

L C d 2 v d t 2 + R C d v d t + v = V G

Dividindo todos os termos por L C ,

d 2 v d t 2 + R L d v d t + v L C = V G L C

2º PASSO:

Chegamos a uma EDO de segunda ordem não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

A solução da homogênea também é chamada de resposta natural do circuito, porque é como se a gente tivesse desligado a fonte V G = 0 . Já a solução particular da EDO é chamada de resposta forçada do circuito, porque é como se o circuito atingisse o regime permanente sofrendo a ação da fonte.

v t = v h ( t ) + v p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

d 2 v h d t 2 + R L d v h d t + v h L C = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes no tópico anterior e vimos que dependendo do valor dos elementos temos três tipos de resposta:

Caso Superamortecido → α > ω 0 :

v h t = A e r 1 t + B e r 2 t

Caso de Amortecimento crítico → α = ω 0 :

v h t = ( A + B t ) e - α t

Caso Subamortecido → α < ω 0 :

v h t = e - α t ( A c o s   ω d t + B s i n   ω d t )

3º PASSO:

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

d 2 v p d t 2 + R L d v p d t + v p L C = V G L C

Como V G / L C é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( B ) d t 2 + R L d ( B ) d t + ( B ) L C = V G L C

Como a derivada de uma constante é zero:

B L C = V G L C

B = V G

v p t = V G

Também podemos encontrar v p analisando o circuito no regime permanente, ou seja, quando t → ∞ .

No regime permanente, o indutor pode ser considerado um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto. Logo, o circuito pode ser considerado assim:

Portanto, como o circuito está aberto, a corrente é zero. Consequentemente, não há queda de tensão no resistor e a tensão v é a própria tensão da fonte.

Logo, a resposta forçada do circuito será

v p t = v ∞ = V G

4º PASSO:

Portanto, as soluções gerais para cada caso serão:

v t = V G + A e r 1 t + B e r 2 t     →     S u p e r a m o r t e c i d o

v t = V G + A + B t e - α t     →     A m o r t e c i m e n t o   c r í t i c o

v t = V G + e - α t A c o s   ω d t + B s i n   ω d t     →     S u b a m o r t e c i d o

Onde, no circuito R L C série

α = R 2 L   ,           ω 0 = 1 L C ,         ω d = ω 0 2 - α 2      

e as raízes da equação das características são

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2  

Lembrando que A e B são constantes que determinamos a partir das nossas condições iniciais: v ( 0 ) e d v ( 0 ) / d t .

Ficou confuso? Vamos fazer um exemplo numérico para clarear!

Vamos encontrar v ( t ) no circuito abaixo:

Acabamos de ver que para encontrarmos v ( t ) em um circuito R L C série com fonte, precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea. Além disso, a solução geral para v ( t ) possui duas parcelas.

v = v h + v p

A resposta natural depende de cada caso. Então, primeiro vamos ver qual o caso do nosso circuito.

Para t > 0 ,   a chave se fecha e em um circuito R L C série sabemos que

α = R 2 L               e               ω 0 = 1 L C

Logo, substituindo os valores:

α = 4 2 = 2

ω 0 = 1 1 × 0,25 = 2  

Como α = ω 0 , nossa resposta natural é criticamente amortecida e será:

v h t = A + B t e - α t

Substituindo o valor de α ,

v h t = A + B t e - 2 t

Agora, vamos encontrar a resposta forçada pela fonte de tensão. No regime permanente, o circuito pode ser considerado assim:

Logo,

v p = 20   V

Portanto, nossa solução completa é

v t = 20 + A + B t e - 2 t

Estamos quase acabando! Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes A e B . Para isso vamos precisar das nossas condições iniciais: v ( 0 + ) e d v ( 0 + ) / d t .

Para t < 0 , a fonte de tensão estava desligada e o capacitor e indutor sem energia armazenada. Logo,

v 0 - = 0

i 0 - = 0

Como no capacitor a tensão não pode variar instantaneamente,

v 0 - = v 0 + = 0

Portanto,

v 0 + = 20 + A + B 0 e - 2 0 = 0

20 + A = 0

A = - 20

Além disso, a corrente no indutor não pode variar instantaneamente e ela é a mesma do capacitor.

i 0 + = 0,25 d v 0 + d t = 0

d v 0 + d t = 0

Derivando v ( t ) em relação ao tempo, temos

d v d t = B e - 2 t + A + B t e - 2 t - 2

d v 0 + d t = B - 2 A = 0

B = - 40

Logo, a solução completa será

v t = 20 + - 20 - 40 t e - 2 t     V

Resposta ao degrau do circuito RLC paralelo

Agora, vamos estudar a resposta ao degrau no R L C paralelo. A gente vai ver que, para encontrar a resposta desse circuito, o procedimento é praticamente o mesmo que utilizamos no circuito série.

No circuito abaixo, queremos encontrar como resposta a corrente no indutor i ( t ) .

Vamos começar! Queremos encontrar a corrente no indutor i ( t ) , sabendo que em t = 0 é aplicado subitamente um degrau de corrente no valor de I G . Para isso, vamos seguir esses passos:

1º PASSO:

Vamos aplicar a LCK no circuito, para t > 0 ,

C d v d t + v R + i = I G

Como, no indutor

v = L d i d t

Substituindo v e dividindo todos os termos por L C , temos

d 2 i d t 2 + 1 R C d i d t + i L C = I G L C

2º PASSO:

Chegamos a mais uma EDO de segunda ordem não homogênea. A solução dela também é composta pela solução particular mais a solução da EDO homogênea associada.

i t = i h ( t ) + i p ( t )

Assim como no caso do circuito série, a solução da homogênea também é chamada de resposta natural do circuito e a solução particular da EDO é chamada de resposta forçada do circuito.

Primeiro, vamos encontrar a solução particular.

d 2 i p d t 2 + 1 R C d i p d t + i p L C = I G L C

Como I G / L C é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( B ) d t 2 + 1 R C d ( B ) d t + ( B ) L C = I G L C

Como a derivada de uma constante é zero:

B L C = I G L C

B = I G

i p t = I G

Assim como no circuito série, também podemos encontrar i p analisando o circuito no regime permanente, ou seja, quando t → ∞ .

i p t = i ∞ = I G

3º PASSO:

Agora, vamos resolver a EDO homogênea:

d 2 i h d t 2 + 1 R C d i h d t + i h L C = 0

Essa EDO apesenta a mesma equação característica da EDO do circuito R L C paralelo sem fontes que vimos no tópico anterior. Logo, a resposta natural é a mesma que calculamos no caso sem fontes e vimos que, dependendo do valor dos elementos, temos três tipos de resposta.

4º PASSO:

Portanto, as soluções gerais para cada caso serão:

i t = I G + A e r 1 t + B e r 2 t     →     S u p e r a m o r t e c i d o

i t = I G + A + B t e - α t     →     A m o r t e c i m e n t o   c r í t i c o

i t = I G + e - α t A c o s   ω d t + B s i n   ω d t     →     S u b a m o r t e c i d o

Onde, no circuito R L C paralelo

α = 1 2 R C   ,             ω 0 = 1 L C   ,             ω d = ω 0 2 - α 2        

e

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2  

Sempre lembrando que A e B são constantes que determinamos a partir das nossas condições iniciais: i ( 0 ) e d i ( 0 ) / d t .

Generalização

Agora que você já está fera em circuitos R L C série e paralelo, podemos aplicar o que vimos até aqui a qualquer circuito de segunda ordem.

Seguindo esses quatro passos mágicos abaixo, podemos determinar a resposta x ( t ) ao degrau, que pode ser tensão ou corrente, para qualquer circuito de segunda ordem.

  1. Determinar as condições iniciais x 0 e d x ( 0 ) / d t e o valor final x ∞ ;
  2. Determinar a resposta natural do circuito x h t desligando as fontes independentes e aplicando a LCK ou LTK para obter a EDO de segunda ordem, pela qual calcularemos as raízes da equação característica;
  3. Calcular a resposta forçada do circuito através de

    4. x p ( t ) = x ( ∞ )

  4. A resposta final será a soma da resposta natural com a resposta forçada

x t = x h t + x p t

Tendo x t , determinar as constantes a partir das condições iniciais x 0 e d x ( 0 ) / d t .

Para você ver que eu não estou mentindo, vamos encontrar a tensão v ( t ) para t > 0 no circuito abaixo.

Como podemos ver, esse circuito não é um circuito R L C série nem paralelo, é um circuito de segunda ordem qualquer.

Vamos seguir nossos quatro passos.

1º PASSO:

Vamos determinar nossas condições iniciais e finais. Para t = 0 - , a chave está aberta e o circuito já atingiu o regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.

Como circuito está aberto, não há circulação de corrente e, consequentemente, não há queda de tensão no resistor. Logo,

v 0 - = 20   V

i 0 - = 0

Em t = 0 + , a chave é fechada.

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 20   V

i 0 + = i 0 - = 0

Ainda precisamos determinar d v ( 0 + ) / d t . Sabemos que no capacitor

i c = C d v d t

Logo,

d v d t = i c 0,5

Aplicando LCK ao nó do circuito,

i 0 + = v 0 + 2 + i c ( 0 + )

0 = 20 2 + i c 0 +

i c 0 + = - 10   A

Portanto,

d v 0 + d t = - 20   V / s

Agora, precisamos encontrar o valor final. Isso ocorre quando t → ∞ e podemos considerar um novo regime permanente.

Aplicando divisor de tensão,

v ∞ = 2 4 + 2 × 20 = 6,667   V

2º PASSO:

Agora, vamos determinar a resposta natural para o circuito em t > 0 . Desligando a fonte de tensão, temos o circuito abaixo

Lembrando que desligar a fonte de tensão é substituí-la por um curto-circuito.

Aplicando LCK ao nó do circuito acima,

i = v 2 + 1 2 d v d t

E aplicando LTK na malha da esquerda,

4 i + 1 d i d t + v = 0

Como a gente está querendo determinar a tensão v ( t ) , vamos substituir i da primeira equação na segunda.

2 v + 2 d v d t + 1 2 d v d t   + 1 2 d 2 v d t 2 + v = 0

Arrumando os termos,

d 2 v d t 2 + 5 d v d t + 6 v = 0

A equação característica para essa equação é

r 2 + 5 r + 6 = 0

Resolvendo a equação, chegamos as raízes

r 1 = - 2       e       r 2 = - 3

Logo, a resposta natural é

v t = A e - 2 t + B e - 3 t

3º PASSO:

Já determinamos o valor final da tensão. Logo a resposta forçada é

v p t = v ∞ = 6,667   V

4º PASSO:

Portanto, nossa solução completa é

v t = v h t + v p t

v t = 6,667 + A e - 2 t + B e - 3 t

Agora, precisamos determinar o valor de cada constante. Faremos isso, usando nossas condições iniciais.

v 0 + = 6,667 + A e - 2 0 + B e - 3 0 = 20

A + B = 13,333

Derivando v t , temos

d v d t = - 2 A e - 2 t - 3 B e - 3 t

Logo,

d v 0 + d t = - 2 A e - 2 0 - 3 B e - 3 0 = - 20

- 2 A - 3 B = - 20

Resolvendo o sistema abaixo,

A + B = 13,333 - 2 A - 3 B = - 20

Temos, A = 20 e B = - 6,667 .

Portanto, a solução completa é

v t = 6,667 + 20 e - 2 t - 6,667 e - 3 t     V

Resposta ao degrau do circuito RLC paralelo

Generalização

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, p.322, Problema 8.26

A resposta a um degrau de um circuito R L C é descrita por

d 2 i d t 2 + 2 d i d t + 5 i = 10

Dado que i 0 = 2 e d i ( 0 ) / d t = 4 , determine i ( t ) .

Passo 1

O enunciado forneceu para a gente a expressão para a corrente e suas condições iniciais. Então, para encontrarmos i ( t ) precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea.

d 2 i d t 2 + 2 d i d t + 5 i = 10

Passo 2

A solução dessa EDO terá duas parcelas: uma referente à resposta natural e outra referente à resposta forçada.

i t = i h t + i p t

Primeiro, vamos encontrar a resposta natural, que é a solução da EDO homogênea associada a EDO do nosso circuito.

d 2 i h d t 2 + 2 d i h d t + 5 i h = 0

Passo 3

Essa EDO tem a seguinte equação característica,

r 2 + 2 r + 5 = 0

Vamos encontrar as raízes dessa equação.

r 1,2 = - 2 ± 2 2 - 20 2

r 1,2 = - 1 ± j 2

Passo 4

Encontramos raízes imaginárias. Para esse caso, a solução geral é:

i h t = e - α t ( A cos ⁡ ω d t + B sin ⁡ ω d t )

Onde,

r 1,2 = - α ± j ω d

Logo, para a nossa EDO

- α = - 1                 e                   ω d = 2

Então, nossa solução homogênea será:

i h t = e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t )

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular, que é a resposta forçada do circuito.

d 2 i p d t 2 + 2 d i p d t + 5 i p = 10

Como 10 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = C ,

sendo C uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( C ) d t 2 + 2 d ( C ) d t + 5 ( C ) = 10

Como a derivada de uma constante é zero:

5 C = 10

C = 2

Logo,

i p t = 2

Passo 6

Agora que encontramos a resposta natural e a forçada é só somar as duas.

i t = i h t + i p t

Portanto, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

i t = e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t ) + 2

Passo 7

Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes A e B . Para isso, vamos utilizar as condições iniciais.

i 0 = 2

e - 0 ( A cos ⁡ 2 0 + B sin ⁡ 2 ( 0 ) ) + 2 = 2

A + 2 = 2

A = 0

Para encontrarmos B , vamos derivar i ( t ) para usarmos a outra condição inicial. Já sabemos que A = 0 , então

i t = e - t ( B sin ⁡ 2 t ) + 2

Derivando,

d i d t = - e - t ( B sin ⁡ 2 t ) + e - t B ( 2 ) cos ⁡ 2 t

Logo,

d i 0 d t = 2 B

Como o enunciado nos disse que

d i 0 d t = 4

Temos,

2 B = 4

B = 2

Passo 8

Portanto, substituindo os valores encontrados para as constantes, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

i t = e - t ( ( 0 ) cos ⁡ 2 t + ( 2 ) sin ⁡ 2 t ) + 2

i t = 2 e - t sin ⁡ 2 t + 2       A

Resposta

i t = 2 e - t sin ⁡ 2 t + 2       A

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, p.322, Problema 8.27

Uma tensão de ramo em um circuito R L C é descrita por

d 2 v d t 2 + 4 d v d t + 8 v = 24

Se as condições iniciais forem v 0 = 0 = d v ( 0 ) / d t , determine v ( t ) .

Passo 1

O enunciado forneceu para a gente qual a expressão para a tensão e suas condições iniciais. Então, para encontrarmos v ( t ) precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea.

d 2 v d t 2 + 4 d v d t + 8 v = 24

Passo 2

A solução dessa EDO terá duas parcelas: uma referente à resposta natural e outra referente à resposta forçada.

v t = v h t + v p t

Primeiro, vamos encontrar a resposta natural, que é a solução da EDO homogênea associada a EDO do nosso circuito.

d 2 v h d t 2 + 4 d i h d t + 8 v h = 0

Passo 3

Essa EDO tem a seguinte equação característica,

r 2 + 4 r + 8 = 0

Vamos encontrar as raízes dessa equação.

r 1,2 = - 4 ± 4 2 - 32 2

r 1,2 = - 2 ± j 2

Passo 4

Encontramos raízes imaginárias. Para esse caso, a solução geral é

v h t = e - α t ( A cos ⁡ ω d t + B sin ⁡ ω d t )

Onde,

r 1,2 = - α ± j ω d

Logo, para a nossa EDO

- α = - 2               e                   ω d = 2

Então, nossa solução homogênea será

v h t = e - 2 t ( A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t )

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular, que é a resposta forçada do circuito.

d 2 v p d t 2 + 4 d v p d t + 8 v p = 24

Como 24 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p t = C ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( C ) d t 2 + 4 d ( C ) d t + 8 ( C ) = 24

Como a derivada de uma constante é zero:

8 C = 24

C = 3

Logo,

v p t = 3

Passo 6

Agora que encontramos a resposta natural e a forçada é só somar as duas.

v t = v h t + v p t

Portanto, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

v t = e - 2 t ( A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t ) + 3

Passo 7

Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes A e B . Para isso, vamos utilizar as condições iniciais.

v 0 = 0

e - 2 0 ( A cos ⁡ 2 0 + B sin ⁡ 2 ( 0 ) ) + 3 = 0

A + 3 = 0

A = - 3

Para encontrarmos B , vamos derivar v ( t ) para usarmos a outra condição inicial. Já sabemos que A = - 3 , então

v t = e - 2 t ( - 3 cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t ) + 3

Derivando,

d v d t = - 2 e - 2 t ( - 3 cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t ) + e - 2 t ( 3 ( 2 ) sin ⁡ 2 t + B ( 2 ) cos ⁡ 2 t )

Logo,

d v 0 d t = 6 + 2 B

Como o enunciado nos disse que

d v 0 d t = 0

Temos,

6 + 2 B = 0

B = - 3

Passo 8

Portanto, substituindo os valores encontrados para as constantes, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

v t = e - 2 t ( - 3 cos ⁡ 2 t - 3 sin ⁡ 2 t ) + 3

v t = - 3 e - 2 t ( cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 2 t ) + 3       V

Resposta

v t = - 3 e - 2 t ( cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 2 t ) + 3       V

Exercício Resolvido #3

Livro Sadiku, p.324, Problema 8.53

Após estar aberta por um dia, a chave do circuito abaixo é fechada em t = 0 . Determine a equação diferencial que descreve i t ,   t > 0 .

Passo 1

Nesse exercício não precisamos encontrar como se comporta a corrente para t > 0 . Precisamos encontrar a EDO de segunda ordem que descreve essa corrente.

Nós vimos que é possível encontrar i ( t ) sem precisarmos encontrar a EDO antes. Mas na realidade, como vimos na teoria, tudo parte de uma EDO de segunda ordem não homogênea. A partir dela chegamos nos casos de amortecimento e nas soluções gerais.

Passo 2

Para começar, vamos aplicar a LCK ao nó do circuito abaixo.

i 1 = i c + i

Pela lei de Ohm,

i 1 = 120 - v 80

i c = 0,01 d v d t

Substituindo,

120 - v 80 = 0,01 d v d t + i

Arrumando a equação, temos

120 - v = 0,8 d v d t + 80 i

120 = v + 0,8 d v d t + 80 i     ( 1 )

Passo 3

Como o indutor está em paralelo com o capacitor, eles possuem a mesma tensão v . Portanto, no indutor

v = 0,25 d i d t     ( 2 )

Como queremos encontrar uma EDO para a corrente, vamos substituir a equação ( 2 ) em ( 1 ) .

120 = 0,25 d i d t + 0,8 0,25 d 2 i d t 2 + 80 i

Arrumando a EDO,

0,2 d 2 i d t 2 + 0,25 d i d t + 80 i = 120

Para terminar, dividindo todos os termos por 0,2 ,

d 2 i d t 2 + 1,25 d i d t + 400 i = 600

Resposta

d 2 i d t 2 + 1,25 d i d t + 400 i = 600

Exercício Resolvido #4

Introdução a análise de circuitos - Robert L Boylestad – Ed. 12 – Exercício 11.43

Determine as correntes de estado estacionário I 1 e I 2 para o circuito na figura:

Passo 1

Substituir o indutor L 1 por um curto-circuito, por onde passa a corrente I 1 e substituir o indutor L 2 por um curto circuito por onde passa a corrente I 2 .

Passo 2

Assim temos um circuito simples, onde R 2 está em série com o resistor R 3 e estão em paralelo com o resistor R 1 .

Vamos calcular a resistência equivalente do circuito para calcular a corrente total que sai da fonte I 1 .

R 4 =   R 2 + R 3 = 6 + 4 = 10 Ω

R e q = 4 * 10 4 + 10 = 2,86 Ω

Passo 3

A corrente total I 1 é dada por:

I 1 = E R e q = 20 2,86 = 6,99 A

Passo 4

A corrente total I 2 é calculada através do divisor de corrente entre os ramos do circuito:

I 2 = I 1 * 4 10 + 4 =   6,99 * 4 14 = 2 A

Resposta

I 1 =   6,99 A

I 2 =   2 A

Exercício Resolvido #5

Introdução a análise de circuitos - Robert L Boylestad – Ed. 12 – Exercício 11.45

Determine as correntes e as tensões de estado estacionário para o circuito na figura após a chave ser fechada.

Passo 1

Após a chave ser fechada e o circuito entrar em estado estacionário, podemos substituir os indutores por um curto circuito e o capacitor por um circuito aberto.

Passo 2

Logo a corrente não circula pelo capacitor e assim

I 2 = 0 A

Passo 3

O circuito se torna apenas a fonte de 12 V em série com o resistor de 4 Ω . Assim a corrente se resume a:

I 1 = 12 4 = 3 A

Passo 4

A tensão V 1 é calculada pela multiplicação do resistor pela corrente que circula por ele:

V 1 = 4 * 3 = 12 V

Passo 5

Por outro lado, o resistor 8 Ω está em paralelo com a fonte de tensão de - 8 V , logo possui a mesma tensão da fonte:

V 2 =   - 8 V

Resposta

I 1 = 3 A

I 2 = 0 A

V 1 = 12 V

V 1 = - 8 V

Exercício Resolvido #6

Introdução a análise de circuitos - Robert L Boylestad – Ed. 12 – Exercício 11.41 Adaptada

Considerando o circuito na figura:

  1. Escreva a expressão matemática para a corrente i L se a chave for fechada em t = 0s.

Passo 1

Primeiro vamos converter a fonte de corrente em paralelo com o resistor em uma fonte de tensão em série com o resistor:

E = 8 m * 2 k = 16 V

Passo 2

Depois vamos converter a associação dos dois indutores em série:

L e q =   L 1 + L 2 = 10 m + 20 m = 30 m H

Passo 3

Passo 4

Após a chave fechar devemos calaular o equivalente Thévenin entre os terminais do indutor equivalente.

Primeiro a resistência equivalente ao substituir a fonte de tensão por um curto circuito:

R t h = 2 k * 8,2 k 2 k + 8,2 k + 2 k = 3,6 1 k Ω

Passo 5

Calcular a tensão Thévenin entre os terminais do indutor:

E t h = 8,2 k 8,2 k + 2 k * 16 = 12,86 V

Passo 6

Agora podemos calcular a constante de tempo de carregamento do circuito τ :

τ =   L R =   30 m 3,61 k = 8,31 μ s

Passo 7

A corrente segue a seguinte fórmula para o carregamento:

i L =   E R ( 1 - e - t τ )

i L =   12,86 3,61 k ( 1 - e - t 8,31 μ )

i L =   3,56 ( 1 - e - t 8,31 μ ) m A

Resposta

i L =   3,56 ( 1 - e - t 8,31 μ ) m A

Exercício Resolvido #7

Livro Sadiku, p.324, Problema 8.45

No circuito abaixo, determine v t e i ( t ) para t > 0 . Suponha v 0 = 0   V e i 0 = 1   A .

Passo 1

Esse é um circuito R L C paralelo clássico. O enunciado já nos deu de bandeja duas condições iniciais. Primeiro vamos determinar a corrente i ( t ) . Então, precisamos encontrar a condição inicial da derivada da corrente.

Passo 2

Como o circuito é paralelo, a tensão é a mesma para todos os elementos. Logo, no indutor

v = L d i d t

Em t = 0 + , como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente,

v 0 + = v 0 - = 0

Portanto,

v 0 + = 1 d i ( 0 + ) d t = 0

d i 0 + d t = 0

Passo 3

Agora que encontramos as condições iniciais, vamos encontrar os parâmetros α e ω 0 , para sabermos qual o tipo de amortecimento do circuito.

Sabemos que no circuito R L C paralelo

α = 1 2 R C = 1 2 2 0,5 = 0,5

ω 0 = 1 L C = 1 0,5 = 2

Como α < ω 0 , temos o caso de subamortecimento. Onde sua solução geral é

i t = I G + e - α t A c o s   ω d t + B s i n   ω d t

Onde, I G é a corrente da fonte e ω d = ω 0 2 - α 2 .

I G = 4   A

ω d = 2 - 0,25 = 1,323

Então, para esse circuito a corrente tem a seguinte expressão:

i t = 4 + e - 0,5 t A   c o s   1,323 t + B s i n   1,323 t

Passo 4

Agora, precisamos determinar o valor de cada constante. Faremos isso, usando nossas condições iniciais.

i t = 4 + e - 0,5 t A c o s   1,323 0 + B s i n   1,323 ( 0 ) = 1

4 + A = 1

A = - 3

Derivando i t , temos

d i d t = - 0,5 e - 0,5 t A c o s   1,323 t + B s i n   1,323 t + e - 0,5 t 1,323 ( - A sin ⁡ 1,323 t + B cos ⁡ 1,323 t )  

Logo,

d i 0 + d t - 0,5 A + 1,323 B = 0

B = 0,5 - 3 1,323 = - 1,134

Portanto, substituindo os valores das constantes, a solução completa final é

i t = 4 + e - 0,5 t - 3 c o s   1,323 t - 1,134 s i n   1,323 t     A

Passo 5

Agora que já encontramos a corrente que passa pelo indutor, vamos encontrar a tensão v ( t ) .

A gente já sabe que v ( t ) é a mesma para todos os elementos do circuito.

Como no indutor,

v = L d i d t

Basta derivarmos a corrente i ( t ) e multiplicá-la pelo valor do indutor. Nós acabamos de derivar a corrente no passo anterior e vimos que:

d i d t = - 0,5 e - 0,5 t A c o s   1,323 t + B s i n   1,323 t + e - 0,5 t 1,323 ( - A sin ⁡ 1,323 t + B cos ⁡ 1,323 t )

Substituindo o valor de cada constante:

d i d t = - 0,5 e - 0,5 t - 3 c o s   1,323 t - 1,134 s i n   1,323 t + e - 0,5 t 1,323 ( 3 sin ⁡ 1,323 t - 1,134 cos ⁡ 1,323 t )

d i d t = 1,5 e - 0,5 t c o s   1,323 t + 0,567 e - 0,5 t s i n   1,323 t + ( 3,969 e - 0,5 t sin ⁡ 1,323 t - 1,5 e - 0,5 t cos ⁡ 1,323 t )

d i ( t ) d t = 4,536 e - 0,5 t sin ⁡ 1,323 t

Como, L = 1   H

v t = d i ( t ) d t = 4,536 e - 0,5 t sin ⁡ 1,323 t     V

Resposta

i t = 4 + e - 0,5 t - 3 c o s   1,323 t - 1,134 s i n   1,323 t     A

v t = 4,536 e - 0,5 t sin ⁡ 1,323 t     V

Exercício Resolvido #8

Livro Sadiku, p.322, Problema 8.33

Determine v t para t > 0 no circuito abaixo.

Passo 1

Como a gente pode ver, esse circuito não é um circuito R L C série nem paralelo, é um circuito de segunda ordem qualquer. Antes de mais nada, vamos determinar nossas condições iniciais e finais para a tensão v .

Para t = 0 - , as fontes de tensão valem zero, já que para t < 0 ,   u t = 0 . Ou seja, podemos considerar que não há energia armazenada no circuito.

Logo,

v 0 - = 0

i 0 - = 0

Passo 2

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 0

i 0 + = i 0 - = 0

Ainda precisamos determinar d v ( 0 + ) / d t . Sabemos que no capacitor

i c = C d v d t

Como o capacitor e o indutor estão em série, a corrente neles é a mesma. Logo,

i c 0 + = i 0 + = 0

Portanto,

d v 0 + d t = i 0 + 0,5

d v 0 + d t = 0 0,5 = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor final da tensão no capacitor. Isso ocorre quando t → ∞ e podemos considerar que o circuito atingiu o regime permanente, no qual o indutor pode ser considerado um curto-circuito e o capacitor um circuito-aberto.

Aplicando LTK, na malha da direita, temos

- v 1 ∞ + v ∞ + 30 = 0

v ∞ = v 1 ∞ - 30

Aplicando divisor de tensão, encontramos a tensão v 1 :

v 1 ∞ = 20 20 + 30 × 60

v 1 ( ∞ ) = 24   V

Logo, o valor final da tensão no capacitor é:

v ∞ = 24 - 30 = - 6   V

Esse valor final é a resposta forçada do circuito,

v p t = v ∞ = - 6   V

Passo 4

Pronto, encontramos todas os nossos valores iniciais e a resposta forçada. Agora, vamos encontrar a resposta natural v h ( t ) para t > 0 . Para isso, precisamos desligar todas as fontes independentes do circuito.

Lembrando que desligar uma fonte de tensão é o mesmo que considerá-la um curto-circuito. Logo, teremos o circuito abaixo:

Fazendo a associação dos resistores em paralelo, temos

R e q = 20   ×   30 20 + 30 = 12   Ω

Olha que maravilha! Chegamos ao circuito R L C série sem fontes e nele sabemos que:

α = R 2 L = 12 0,5 = 24

ω 0 = 1 L C = 1 ( 0,25 ) ( 0,5 ) = 2,828

Como α > ω 0 , temos o caso superamortecido. Esse caso tem a seguinte solução geral:

v h t = A e r 1 t + B e r 2 t

Onde as raízes são,

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

Substituindo os valores de α e ω 0 , temos

r 1,2 = - 24 ± 24 2 - 2,838 2

Logo,

r 1 = - 0,168

r 2 = - 47,83

Portanto, nossa resposta natural é

v h t = A e - 0,168 t + B e - 47,83 t

Passo 5

A solução completa é a soma da resposta natural com a resposta forçada.

v t = v h t + v p t

v t = A e - 0,168 t + B e - 47,83 t - 6

Agora, precisamos determinar o valor de cada constante. Faremos isso, usando nossas condições iniciais.

v 0 + = A e - 0,168 0 + B e - 47,83 0 - 6 = 0

A + B = 6

Derivando v t , temos

d v d t = - 0,168 A e - 0,168 t - 47,83 B e - 47,83 t

Logo,

d v 0 + d t = - 0,168 A e - 0,168 ( 0 ) - 47,83 B e - 47,83 ( 0 ) = 0

- 0,168 A - 47,83 B = 0

Resolvendo o sistema abaixo,

A + B = 6 - 0,168 A - 47,83 B = 0

Isolando A na primeira equação e substituindo na segunda, temos

- 0,168 6 - B - 47,83 B = 0

- 1,008 + 0,168 B - 47,83 B = 0

- 47,66 = 1,008

B = - 0,021

Logo,

A = 6 - ( - 0,021 ) = 6,021

Portanto, a solução completa final é:

v t = 6,021 e - 0,168 t - 0,021 e - 47,83 t - 6       V

Resposta

v t = 6,021 e - 0,168 t - 0,021 e - 47,83 t - 6       V

Exercício Resolvido #9

Livro Sadiku, p.322, Problema 8.33

Determine v t para t > 0 no circuito abaixo.

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar nossas condições iniciais e finais para a tensão v .

Para t = 0 - , a chave está fechada e o circuito já atingiu o regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.

Além disso, a fonte de corrente da esquerda vale zero, já que para t < 0 ,   u t = 0 . Ou seja, podemos considerá-la desligada.

Passo 2

Então, para t = 0 - , analisamos o circuito abaixo.

Redesenhando

Aplicando LCK ao nó,

3 = i 1 + i 2

3 = v ( 0 - ) 10 + v ( 0 - ) 5

3 v 0 - = 30

v 0 - = 10   V

Se repararmos, i 2 é a corrente que passa pelo indutor e seu valor será

i 2 0 - = 10 5 = 2   A

Passo 3

Precisamos encontrar a condição inicial para a derivada da tensão. Em t = 0 + , a chave é aberta e temos o seguinte circuito.

Agora vamos fazer uma coisa que vai facilitar muito: usar transformação de fontes. A fonte de corrente que está em paralelo com o resistor vai se transformar numa fonte de tensão em série com o resistor. Lembra disso?

O circuito acima nós conhecemos bem! É o circuito R L C série.

Lembrando que a fonte de tensão tem valor de 20   V , porque quando realizamos a transformação de fontes temos que respeitar a lei de Ohm

V = 5 × 4 = 20   V

Passo 4

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 10   V

i 2 0 + = i 2 0 - = 2   A

Ainda precisamos determinar d v ( 0 + ) / d t . Sabemos que no capacitor

i c = C d v d t

Como o circuito é série, a corrente em todos os elementos é a mesma. Logo,

i c 0 + = i 2 0 + = 2   A

Temos que tomar cuidado agora. Veja que a corrente i 2 está no sentido contrário a convenção de sinais em elementos passivos no capacitor. Logo,

i 2 = - C d v d t

Portanto,

d v 0 + d t = - i 2 0 + 4  

d v 0 + d t = - 2 4 = - 0,5   V / s

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor final. Isso ocorre quando t → ∞ e podemos considerar um novo regime permanente, no qual mais uma vez o indutor pode ser considerado um curto-circuito e o capacitor um circuito-aberto.

Como o circuito está aberto, não há circulação de corrente e, consequentemente, queda de tensão no resistor. Portanto, a tensão v será a própria tensão da fonte.

v ∞ = 20   V

Passo 6

Pronto, encontramos todas os nossos valores iniciais e finais. Agora, vamos encontrar a expressão para v ( t ) para t > 0 .

Como o circuito é R L C série sabemos que

α = R 2 L = 5 2 = 2,5

ω 0 = 1 L C = 1 4 = 0,5

Como α > ω 0 , temos o caso superamortecido. Esse caso tem a seguinte solução geral.

v t = v ( ∞ ) + A e r 1 t + B e r 2 t

Onde as raízes são,

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

Substituindo os valores de α e ω 0 , temos

r 1,2 = - 2,5 ± 2,5 2 - 0 , 5 2

Logo,

r 1 = - 0,0505

r 2 = - 4,949

Portanto, nossa solução completa é

v t = 20 + A e - 0,0505 t + B e - 4,949 t

Passo 7

Agora, precisamos determinar o valor de cada constante. Faremos isso, usando nossas condições iniciais.

v 0 + = 20 + A e - 0,0505 ( 0 ) + B e - 4,949 ( 0 ) = 10

A + B = - 10

Derivando v t , temos

d v d t = - 0,0505 A e - 0,0505 t - 4,949 B e - 4,949 t

Logo,

d v 0 + d t = - 0,0505 A e - 0,0505 ( 0 ) - 4,949 B e - 4,949 ( 0 ) = - 0,5

- 0,0505 A - 4,949 B = - 0,5

Resolvendo o sistema abaixo,

A + B = - 10 - 0,0505 A - 4,949 B = - 0,5

Isolando A na primeira equação e substituindo na segunda, temos

- 0,0505 - 10 - B - 4,949 B = - 0,5

0,505 + 0,0505 B - 4,949 B = - 0,5

- 4,8985 B = - 1,005

B = 0,205

Logo,

A = - 10 - 0,205 = - 10,205

Portanto, a solução completa final é

v t = 20 - 10,205 e - 0,0505 t + 0,205 e - 4,949 t     V

Resposta

v t = 20 - 10,205 e - 0,0505 t + 0,205 e - 4,949 t     V

Exercício Resolvido #10

Livro Sadiku, p.324, Problema 8.50

Para o circuito abaixo, determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar nossas condições iniciais e finais para a corrente i .

Em t = 0 - , o circuito já atingiu o regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.

Além disso, a fonte de corrente vale zero, já que para t < 0 ,   u t = 0 . Ou seja, podemos considerá-la desligada.

Passo 2

Então, para t = 0 - , analisamos o circuito abaixo.

A corrente fornecida pela fonte passará toda pelo curto circuito. Logo, não passará corrente pelo resistor de 40   Ω . Logo, pela lei de Ohm,

i 0 - = 30 10 = 3   A

v 0 - = 0

Passo 3

Precisamos encontrar a condição inicial para a derivada da corrente. Em t = 0 + , a fonte de corrente passa a funcionar e vale 6   A . Então, a gente tem esse circuito aí.

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 0   V

i 0 + = i 0 - = 3   A

Como o circuito é paralelo, a tensão é a mesma para todos os elementos. Logo, no indutor

v = L d i d t

Em t = 0 + , como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente,

v 0 + = v 0 - = 0

Portanto,

v 0 + = 4 d i ( 0 + ) d t = 0

d i 0 + d t = 0

Passo 4

Agora, nós vamos fazer uma coisa que vai nos facilitar muito. Vamos usar transformação de fontes. A fonte de tensão que está em série com o resistor vai se transformar numa fonte de corrente em paralelo com o resistor. Lembra disso?

Quando realizamos a transformação de fontes temos que respeitar a lei de Ohm. Logo o valor da fonte de corrente será

I = V R = 30 10 = 3   A

Logo, nosso circuito ficará assim,

Ainda podemos reduzir mais o circuito, já que temos dois resistores em paralelo e duas fontes de corrente também em paralelo.

Então, somando o valor das fontes e calculando a resistência equivalente

R e q = 10 × 40 10 + 40 = 8   Ω

Chegamos ao circuito abaixo.

Esse circuito nós conhecemos bem! É o circuito R L C Paralelo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os parâmetros α e ω 0 , para sabermos qual o tipo de amortecimento do circuito.

Sabemos que no circuito R L C paralelo

α = 1 2 R C = 1 2 8 0,01 = 6,25

ω 0 = 1 L C = 1 ( 4 ) ( 0,01 ) = 5

Como α > ω 0 , temos o caso de superamortecimento. Onde sua solução geral é

i t = I G + A e r 1 t + B e r 2 t

Onde, I G é a corrente da fonte e

r 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

Portanto,

I G = 9   A

r 1 = - 6,25 + 6,25 2 - 5 2

r 1 = - 6,25 + 3,75 = - 2,5

e

r 2 = - 6,25 - 3,75 = - 10

Então, para esse circuito a corrente tem a seguinte expressão

i t = 9 + A e - 2,5 t + B e - 10 t

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor de cada constante. Faremos isso, usando nossas condições iniciais.

i 0 + = 3   A                 e                 d i 0 + d t = 0

Logo,

i 0 + = 9 + A e - 2,5 ( 0 ) + B e - 10 ( 0 ) = 3

9 + A + B = 3

A + B = - 6

Derivando i t , temos

d i d t = - 2,5 A e - 2,5 t - 10 B e - 10 t

Logo,

d i 0 + d t = - 2,5 A e - 2,5 ( 0 ) - 10 B e - 10 ( 0 ) = 0

- 2,5 A - 10 B = 0

Resolvendo o sistema abaixo,

A + B = - 6 - 2,5 A - 10 B = 0

Isolando A na primeira equação e substituindo na segunda, temos

- 2,5 - 6 - B - 10 B = 0

15 + 2,5 B - 10 B = 0

- 7,5 B = - 15

B = 2

Logo,

A = - 6 - 2 = - 8

Portanto, a solução completa final é

i t = 9 - 8 e - 2,5 t + 2 e - 10 t         A

Resposta

i t = 9 - 8 e - 2,5 t + 2 e - 10 t         A

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Para o circuito da Figura 8.65, determine:(a) v 0 +ei ( 0 + ) (b) d v ( 0 + ) / d ted i ( 0 + ) / d t (c) v ∞ei ( ∞ )
Calcule v para t0 , se o circuito está em regime permanente em t = 0 - ,
Referindo-se ao circuito da Figura 8.66, determine:(a) i ( 0 + ) e v ( 0 + ) (b) d i ( 0 + ) / d t e d v ( 0 + ) / d t (c) i ( ∞ ) e v ( ∞ )
Usando a Figura 8.9 3 , elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor a resposta a um degrau de um circuito R L C em paralelo.
Obtenha v(t) e i(t) para t0 no circuito da Figura 8.84.