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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas Abrangentes - Ex. 104

104- Certo circuito possui uma admitância de entrada Y ( s ) . A admitância tem um polo em s = - 3 , um zero em s = - 1 e Y ∞ = 0.25   S

a ) Determine Y ( s )

b ) Uma bateria de 8   V é conectada ao circuito por uma chave. Se a chave for fechada em t = 0 , determine a corrente i ( t ) através de Y ( s ) usando transformadas de Laplace.

Passo 1

Pela informação de polo e zero nós sabemos que a função tem ( s + 3 ) no denominador e ( s + 1 ) no numerador, não esquecendo que temos uma constante C nossa função de transferência fica da seguinte maneira:

Y s = C s + 1 s + 3

Fazendo limite de s tender a infinito temos:

lim s → ∞ ⁡ C s + 1 s + 3 = 0.25

lim s → ∞ ⁡ C 1 + 1 s 1 + 3 s = 0.25

Aplicando o limite encontramos:

C = 0.25 = 1 4

Então:

Y s = s + 1 4 ( s + 3 )

Passo 2

Sabendo que a admitância é a razão entre a corrente e a tensão (ou seja é o inverso da impedância) nós temos a seguinte conta para a corrente:

I = V Z = V × Y

Sabendo que a bateria manda um degrau (por conta da chave liga/desliga , não podemos considerar impulso pois não seria a melhor representação) de 8   V nós temos a seguinte função de transferência para a tensão.

V = 8 s

Então a corrente será:

I = 8 s × s + 1 4 ( s + 3 ) = 2 s + 1 s ( s + 3 )

Passo 3

Para representar no tempo essa função vamo separar em frações parciais.

I = A s + B s + 3

Dessa forma temos:

I = A s + 3 + B s s ( s + 3 ) = 2 ( s + 1 ) s ( s + 3 )

A + B s = 2 s

3 A = 2 → A = 2 3

B = 2 - 2 3 = 4 3

Então:

I = 2 3 s + 4 3 s + 3

Como as transformadas inversas são:

F s → f ( t )

A s → A

A s + a → A e - a t

Então:

i t = 2 3 + 4 3 e - 3 t   A = 2 3 1 + 2 e - 3 t   A  

Resposta

a )   Y s = s + 1 4 ( s + 3 )

b )   i t = 2 3 1 + 2 e - 3 t   A

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