Enunciado

20. A resistência de carga R L na Figura 11.51 é ajustada até ela absorver a máxima potência média. Calcule o valor de R L e a máxima potência média.

Passo 1

Olha só! No nosso circuito, vemos que as impedâncias de j 20   Ω e j 10   Ω estão em paralelo. A impedância equivalente nesse caso, vai ser igual a...

( j 20 | | - j 10 )   Ω = j 20 ⋅ ( - j 10 ) j 10   Ω

( j 20 | - j 10 Ω = - j 20   Ω

Em seguida, vamos nos concentrar em obter a impedância de T h é v e n i n . Para isso, vamos substituir aquela resistência R L ali por uma fonte de corrente de 1   A . Quanto a fonte de tensão, nós vamos trocar por um curto circuito, como é de praxe.

Aproveitando a deixa, bora indicar o sentido das correntes, né? Tá na cara que vamos precisar fazer uso da análise nodal mais uma vez.

Essa região envolta por uma elipse pontilhada aí, é um supernó. Bora aplicar a L K C pra ele...

I 0 + 1 = I 1 + I 2

- V 1 40 + 1 = V 1 - j 20 + V 2 - j 10   ( i )

Só que do supernó...

V 1 - 4 I 0 = V 2

V 1 = V 2 + 4 I 0

Mas...

I 0 = - V 1 40

O que nos leva à...

V 1 = V 2 + 4 ⋅ - V 1 40

V 2 = 1,1 V 1   ( i i )

Substituindo essa relação ( i i ) em ( i ) :

- V 1 40 + 1 = V 1 - j 20 + 1,1 V 1 - j 10

- 0,025 V 1 + 1 = j 0,05 V 1 + j 0,11 V 1

V 1 = 1 0,025 + j 0,16

E consequentemente,

V 2 = 1,1 V 1

V 2 = 1,1 0,025 + j 0,16

V 2 = 6,9726 ∠ - 81,12 °

Calculando a impedância de T h é v e n i n , em seguida...

Z T h = 6,9726 ∠ - 81,12 ° 1   Ω

O que fizemos foi dividir a fonte de tensão V 2 pela fonte de corrente de 1   A , de modo que...

Z T h = 6,9726 ∠ - 81,12 °   Ω

Z T h = 1,05 - j 6,71   Ω

Como nosso elemento é uma resistência, ou seja, só tem parte real presente... Então, a resistência R L vai ser igual ao módulo de Z T h ...

R L = 6,9726   Ω

Passo 2

Agora, vamos nos concentrar em obter o valor de V T h .

Para isso, bora redesenhar o circuito, abrindo ele no ramo que contém R L .

Desse jeito aqui...

Essa região envolta por uma elipse pontilhada aí, é um supernó. Bora aplicar a L K C pra ele...

I 0 = I 3 + I 4

165 - V 3 40 = V 3 - j 20 + V 4 - j 10   ( i i i )

Só que do supernó...

V 3 - 4 I 0 = V 4

V 3 = V 4 + 4 I 0

Mas...

I 0 = 165 - V 3 40

O que nos leva à...

V 3 = V 4 + 4 ⋅ 165 - V 3 40

V 3 = V 4 + 16,5 1,1  

V 4 = 1,1 V 3 - 16,5   ( i v )

Substituindo essa relação ( i v ) em ( i i i ) :

165 - V 3 40 = V 3 - j 20 + V 4 - j 10

4,125 - 0,025 V 3 = j 0,05 V 3 + j 0,1 V 4

4,125 - 0,025 V 3 = j 0,05 V 3 + j 0,1 V 4

4,125 - 0,025 V 3 = j 0,05 V 3 + j 0,1 1,1 V 3 - 16,5  

0,025 + j 0,16 V 3 = 4,125 + j 1,65

V 3 = 4,125 + j 1,65 0,025 + j 0,16

Desse modo...

V 4 = 1,1 V 3 - 16,5

V 4 = 1,1 ⋅ 4,125 + j 1,65 0,025 + j 0,16 - 16,5

V 4 = 4,5375 + j 1,815 0,025 + j 0,16 - 16,5

V 4 = 30,178 ∠ - 59,317 ° - 16,5

V 4 = - 1,10 - j 25,953   V

V 4 = 25,98 ∠ - 92,43 °   V

Essa V 4 , como podemos ver no nosso circuito é a nossa tensão de T h é v e n i n ....

V T h = 25,98 ∠ - 92,43 °   V

Passo 3

Obtido o valor da impedância Z L e da tensão V T h , para encontrar a máxima potência média basta usar a fórmula abaixo:

P m e d = 1 2 V T h Z T h + R L 2 ⋅ R L

Onde R T h é a parte real de Z T h .

Substituindo assim, os valores numéricos:

P m e d = 1 2 ⋅ 25,98 ∠ - 92,43 °   1,05 - j 6,71 + 6,9726 2 ⋅ ( 6,9726 )

P m e d = 1 2 ⋅ 25,98 ∠ - 92,43 °   10,479 ∠ - 39,91 ° 2 ⋅ ( 6,9726 )

P m e d = 1 2 ⋅ 25,98 ∠ - 92,43 °   10,479 ∠ - 39,91 ° 2 ⋅ ( 6,9726 )

P m e d = 21,51   W

Resposta

R L = 6,9726   Ω

P m e d = 21,51   W

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