Enunciado

23. Usando a análise nodal, obtenha V no circuito da figura 10.72

Passo 1

Fala galerinha! Vamos pra mais um problema sobre regime estacionário em circuito senoidal.

Bom! A questão nos diz que vamos ter que usar a análise nodal pra resolver esse problema.

Pois então, é extamente isso que a gente vai fazer. Bora fazer o esboço desse circuito, dando nomes aos bois. Isto é, desenhar os sentidos das correntes de cada nó e nomear as tensões de cada nó para aplicar a L K C .

Ah! Nosso circuito tem dois nós, hein!?

E aqui está nossa figura:

Aplicando a lei das correntes de K i r c h h o f f para o nó 1 , obtemos a seguinte igualdade:

i 0 = i 1 + i 2

E essas correntes são dadas em função das tensões nodais, por:

i 0 = V S - v 1 R

i 1 = v 1 1 j ω C + j ω L

i 2 = v 1 1 j ω C

Passo 2

Substituindo esses valores das correntes em função das tensões nodais, na fórmula que obtemos usando o L K C :

i 0 = i 1 + i 2

V S - v 1 R = v 1 1 j ω C + j ω L + v 1 1 j ω C

Agora, bora parar um pouco pra raciocionar! A tensão nodal v 1 , não é a mesma coisa que V ?

Sim, senhor! As duas são a mesmo coisa! Desse modo, nossa relação de antes vai ficar assim:

V S - V R = V 1 j ω C + j ω L + V 1 j ω C

Trabalhando em cima dessa expressão, iremos obter nossa resposta:

V S - V R = V - j ω C + j ω L + j V ω C

V - V S R + V - j ω C + j ω L + j V ω C = 0

V - V S R ⋅ R + V - j ω C + j ω L ⋅ R + j V ω C ⋅ R = 0

V - V S + V R - j ω C + j ω L + j V R ω C = 0

V + V R - j ω C + j ω L + j V R ω C = V S

V 1 + R - j + j ω 2 C L ω C + j R ω C = V S

V 1 + R ω C - j + j ω 2 C L + j R ω C = V S

V 1 + R ω C - j ( 1 - j ω 2 C L ) + j R ω C = V S

V 1 + R ω C - j ( 1 - ω 2 C L ) + j R ω C = V S

V 1 + j R ω C ( 1 - ω 2 C L ) + j R ω C = V S

V = V S 1 + j R ω C ( 1 - ω 2 C L ) + j R ω C

V = V S ( 1 - ω 2 C L ) 1 - ω 2 C L + j R ω C ( 2 - ω 2 C L )

Demorou, mas chegou! Encontramos nossa resposta!

Resposta

V = V S ( 1 - ω 2 C L ) 1 - ω 2 C L + j R ω C ( 2 - ω 2 C L )

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