53- Determine I_o no circuito da Figura 9.60

Passo 1

Um raciocínio para fazer essa questão é a de calcular a impedância equivalente do circuito, mas esse circuito é um circuito misto né? Fica um pouco chato de fazer por que temos que lembrar da conversão de triângulo para estrela e vice-versa. E nesse caso vamos fazer a transformação de estrela para triângulo das reatâncias - j 2 omega , j 6 omega e a resistência de 8 omega fazendo a seguinte conta:

R_1 = (R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C)/(R_C)

R_2 = (R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C)/(R_A)

R_3 = (R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C)/(R_B)

Deixando nosso circuito da seguinte forma:

Não precisa nem dizer que tudo que é feito para essa transformação em corrente contínua é válida para corrente alternada.

Então:

Z_1 = (- j 2 xx 8 - j 2 xx j 6 + 8 xx j 6)/(8) = (- 16 j + 12 + 48 j)/(8) = (12 + 32 j)/(8) = 1.5 + j 4 omega

Z_1 = 4.272 /_ 69.44 ° omega

Z_2 = (- j 2 xx 8 - j 2 xx j 6 + 8 xx j 6)/(- j 2) = (12 + 32 j)/(- j 2) = (34.176 /_ 69.44)/(2 /_ - 90) = 17.088 /_ 159.44 ° omega

Z_3 = (- j 2 xx 8 - j 2 xx j 6 + 8 xx j 6)/(j 6) = (12 + 32 j)/(j 6) = (34.176 /_ 69.44)/(6 /_ 90) = 5.696 /_ - 20.56 ° omega

Passo 2

Agora vamos começar a transformar o circuito a ponto de termos uma reatância apenas.

E para isso vamos fazer Z_1 // // 4 e Z_2 // // 10 .

Z_1 // // 4 = (4 Z_1)/(4 + Z_1) = (17.088 /_ 69.44)/(5.5 + j 4) = 2.513 /_ 33.41 ° omega

E Z_2 // // 10 será:

Z_2 // // 10 = (10 Z_2)/(10 + Z_2) = (170.88 /_ 159.44 °)/((10 + 17.088 cos 159.44) + j 17.088 sin 159.44) = (170.88 /_ 159.44 °)/(8.486 /_ 135 °)

Z_2 // // 10 = 20.137 /_ 24.44 ° omega

Deixando o circuito com a seguinte cara:

Passo 3

Aí a impedância equivalente do circuito é igual a:

Z_e q = 2 + (Z_a c // // ( Z_a b + Z_b c ))/(Z_a b + Z_a c + Z_b c)

O que seguindo a mesma lógica feita no passo anterior nós teremos:

Z_e q = 2 + (5.696 /_ - 20.56 xx ( 22.94 /_ 25.43 ))/(25.764 + j 7.715)

Z_e q = 2 + (130.67 /_ 4.87)/(26.89 /_ 16.67) = 2 + 4.859 /_ - 11.8 °

Então a resistência equivalente será de:

Z_e q = (2 + 4.859 cos - 11.8) + j (4.859 s e n - 11.8) = 6.829 /_ - 8.367 °

Passo 4

O que nos dá finalmente uma corrente I_o igual a:

V = Z I_o

I_0 = (60 /_ - 30 °)/(6.829 /_ - 8.367 °) = 8.786 /_ - 21.633 ° A

Resposta

I_o = 8.786 /_ - 21.633 ° A

Alguns pequenos erros podem ser obtidos afinal convertemos de fasor para complexo diversas vezes.

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