Enunciado

57. Determine R_e q e I no circuito da Figura 2.121 .

Passo 1

Bom! A primeira coisa que temos de fazer é destacar algumas partes importantes de nosso circuito! Vamos lá!

Repara só nas partes do circuito que estão envoltas pelas regiões alaranjada e azul! São conexões estrela, que não são o ideal para trabalharmos em nosso circuito. Por isso, façamos a transformação de Y para Delta , esta sim mais apropriada.

Para fazer isso; basta usar as fórmulas já prontas para a conversão de um circuito Y em Delta . São elas:

R_a b = (R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)/(R_1)

R_b c = (R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)/(R_2)

R_a c = (R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)/(R_3)

Onde temos para a parte envolta pela região laranja:

R_1 = 12 Ω

R_2 = 6 Ω

R_3 = 8 Ω

E substituindo os valores correspondentes:

R_a b = (12 * 6 + 6 * 8 + 12 * 8)/(12) Ω

R_b c = (12 * 6 + 6 * 8 + 12 * 8)/(6) Ω

R_a c = (12 * 6 + 6 * 8 + 12 * 8)/(8) Ω

Obtemos o seguinte resultado:

R_a b = 18 Ω

R_b c = 36 Ω

R_a c = 27 Ω

Já para a parte envolta pela região azul, temos que:

R_1 = 8 Ω

R_2 = 4 Ω

R_3 = 2 Ω

E substituindo os valores correspondentes:

R_d e = (8 * 4 + 4 * 2 + 8 * 2)/(8) Ω

R_e f = (8 * 4 + 4 * 2 + 8 * 2)/(4) Ω

R_d f = (8 * 4 + 4 * 2 + 8 * 2)/(2) Ω

Obtemos o seguinte resultado:

R_d e = 7 Ω

R_e f = 14 Ω

R_d f = 28 Ω

Passo 2

Com esses resultados, chegamos ao seguinte circuito transformado:

Os pontos que estão com a mesma cor é porque tem o mesmo potencial. Repara que tem dois ramos do nosso circuito separados por pontos pretos e verdes. Eles contém as resistências de 1 Ω e 2 Ω , que estão em série e a resistência de 27 Ω . E sabe o que quer dizer se eles estão separados por pontos da mesma cor?

Ora bolas! Quer dizer que esses resistores estão dispostos em paralelo. De modo que a nossa resistência equivalente para esse caso é igual a:

R_e q 1 = ( 27 | | (2 + 1) ) Ω

R_e q 1 = (27 * ( 2 + 1 ))/(27 + 2 + 1) Ω

R_e q 1 = 2,7 Ω

Na figura podemos ver também que as resistências de 36 Ω e 7 Ω estão em paralelo. Desse modo, a resistência R_e q 2 dessa associação vai valer:

R_e q 2 = ( 36 | | 7 ) Ω

R_e q 2 = (36 * 7)/(36 + 7) Ω

R_e q 2 = 5,868 Ω

E o mesmo ocorre para as resistências de 28 Ω e 10 Ω ...

R_e q 3 = ( 28 | | 10 ) Ω

R_e q 3 = (28 * 10)/(28 + 10) Ω

R_e q 3 = 7,368 Ω

Passo 3

O nosso circuito então, vai ficar do seguinte jeito:

Agora repara só na parte que destacamos em vermelho:

Essa parte aí é uma configuração triangular, ou em delta, que não tá muito legal da gente trabalhar. Por isso, vamos fazer o caminho inverso ao que o gente vinha tomando e dessa vez fazer a transformação de delta para estrela:

Pra isso, basta usar as fórmulas já prontas para a conversão de um circuito Delta em Y . São elas:

R_a n = (R_2 R_3)/(R_1 + R_2 + R_3)

R_b n = (R_1 R_3)/(R_1 + R_2 + R_3)

R_c n = (R_1 R_2)/(R_1 + R_2 + R_3)

Onde:

R_1 = 5,868 Ω

R_2 = 2,7 Ω

R_3 = 18 Ω

O que nos leva ao seguinte resultado:

R_a n = (2,7 * 18)/(5,868 + 2,7 + 18) Ω

R_b n = (5,868 * 18)/(5,868 + 2,7 + 18) Ω

R_c n = (5,868 * 2,7)/(5,868 + 2,7 + 18) Ω

R_a n = 1,829 Ω

R_b n = 3,977 Ω

R_c n = 0,5964 Ω

Passo 4

E o circuito passa a ter a seguinte cara:

Onde percebemos que a resistência equivalente total é dada por:

R_e q = [ 4 + 1,829 + ( 3,977 + 7,568 ) | | ( 0,5964 + 14 ) ] Ω

R_e q = [4 + 1,829 + ((3,977 + 7,568) * (0,5964 + 14))/((3,977 + 7,568 + 0,5964 + 14))] Ω

R_e q = 12,21 Ω

Como a corrente I é simplesmente a divisão da fonte de tensão U de 20 V , pela resistência total equivalente R_e q , bora fazer o cálculo pra obter nosso resultado:

I = (U)/(R_e q)

I = (20 V)/(12,21 Ω)

I tilde= 1,64 A

Pronto! Resposta encontrada!

Passo 5

R_e q = 12,21 Ω

I tilde= 1,64 A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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