Calcule v para t > 0 , se i (0) = 1 A e v_g = 50 V .

Passo 1

Olá meus amigos! Vamos ajudar vocês com essa questão.

Esta é uma questão aparentemente simples. Entretanto ela pede para encontrar v para t > 0 e nos fornece o valor de i (0) , então devemos encontrar uma forma de relacionar essas expressões e chegar ao que pede a questão.

Antes de tudo devemos aplicar a análise nodal neste circuito, visto que o que queremos encontrar é a expressão de v .

v_1 = v_g = 50 V

(v - v_1)/(15) + C (d v)/(d t) + (v)/(10) = 0

Resolvendo esse sistema de equações chegaremos no seguinte resultado:

(d v)/(d t) + 5 v = 100

Passo 2

Antes de resolver essa equação diferencial precisamos encontrar o valor de v ( 0 ) considerando o valor da corrente i ( 0 ) que nos foi dada no enunciado, para isso consideramos o seguinte:

(v (0) - v_1)/(15) = - 1

v (0) = 35 V

O sinal negativo aparece na primeira parte da equação porque o calculo da tensão no numerador está no sentido contrário ao da corrente na figura.

Agora sim podemos prosseguir com a resolução da equação diferencial obtida no passo 1 e relacionar com as seguintes expressões matemáticas:

(d y)/(d t) + P y = Q

y = A e^(- P t) + (Q)/(P)

Realizando essa relação chegaremos à seguinte expressão:

v (t) = A e^(- 5 t) + 20

Passo 3

Para finalizar a resolução desta questão temos que encontrar o valor da constante que apareceu na expressão obtida no passo 2, e para isso usaremos o valor encontrado do v ( 0 ) e chegaremos na seguinte expressão:

35 = A + 20

A = 15

Fazendo a substituição na expressão:

v (t) = [15 e^(- 5 t) + 20] V

Resposta

v (t) = [15 e^(- 5 t) + 20] V

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