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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 44

Calcule o circuito da Figura 14.83 e determine:

  1. A frequência de ressonância ω 0
  2. Z e n t ( ω 0 )

Passo 1

Vamos para letra (a), galera! A frequência de ressonância ω 0 para um circuito R L C é a frequência em que a impedância (admitância) do circuito se torna puramente resistiva (condutiva). Assim, para a gente encontrar ω 0 , precisamos encontrar a admitância do circuito e igualar a parte imaginária a zero.

Y e n t = 1 j ω L + 1 R 1 + 1 R 2 + 1 j ω C

Y e n t = 1 R 1 - j ω L + j ω C j ω C R 2 + 1

Vamos multiplicar a fração, o numerador e o denominador, pelo conjugado, temos:

Y e n t = 1 R 1 - j ω L + j ω C + ω 2 C 2 R 2 1 + ω 2 R 2 2 C 2

Y e n t = 1 R 1 + j - 1 ω L + ω C 1 + ω 2 R 2 2 C 2

Passo 2

Vamos agora igualar a zero a parte imaginária da admitância:

- 1 ω L + ω C 1 + ω 2 R 2 2 C 2 = 0

1 ω L = ω C 1 + ω 2 R 2 2 C 2

ω 2 L C 1 + ω 2 R 2 2 C 2 = 1

ω 2 L C = 1 + ω 2 R 2 2 C 2

ω 2 L C - ω 2 R 2 2 C 2 = 1

ω 2 L C - R 2 2 C 2 = 1

ω 2 = 1 L C - R 2 2 C 2

ω = 1 L C - R 2 2 C 2

Substituindo os valores, temos:

ω = 1 0,02 9 × 10 - 6 - 0,1 2 9 × 10 - 6 2

ω = 2357,028   r a d / s

Passo 3

Agora, para a letra (b), queremos achar a impedância Z e n t . Sabemos que:

Z e n t = 1 Y e n t

Assim,

Y e n t = 1 j ω L + 1 R 1 + 1 R 2 + 1 j ω C

Y e n t = 1 1 + 1 j 2357,028 0,02 + 1 0,1 + 1 j 2357,028 9 × 10 - 6

Y e n t ≈ 1   S

Desse modo, a impedância de entrada é igual a:

Z e n t = 1 Y e n t = 1 1 = 1   Ω

Resposta

  1. ω 0 = 2357,028   r a d / s
  2. Z e n t = 1   Ω
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