Calcule v para t > 0, se o circuito está em regime permanente em t = 0 - .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Logo de início, o enunciado já nos fornece uma informação bem importante, o circuito está em regime permanente em t = 0 - , isso já nos indica algumas informações, a primeira é que capacitor, dado ao longo período nesse estado, agora é um circuito aberto, onde obviamente não circula corrente por aquele ponto, e a outra e não menos importante, nós temos nossa “tensão” inicial,

v 0 + = v 0 - = V 0 = 4   V  

Logo, o circuito em t = 0 + , tem a seguinte configuração:

Podemos transformar essa fonte de tensão de 10 V em uma fonte de corrente (lembra dos conceitos de transformação de fontes independentes?), então, como o resistor está em série com uma fonte de tensão, podemos agora converter em uma fonte de corrente com o resistor em paralelo, logo

Passo 2

Agora, vamos para a parte braçal, as contas, utilizando a equação nodal, nós obtemos o seguinte resultado para a tensão no capacitor

C d v d t + v R = I 0

Isolando o termo da derivada, nós temos que

d v d t + 1 R C v = I 0 C → d v d t =   - v - R I 0 R C

Passando a integral nos dois lados da equação, nós obtemos a seguinte configuração

∫ d v v - R I 0 = - 1 R C ∫ d t

Essa integral do lado esquerda é igual ao logaritmo neperiano, o famoso l n , com isso

ln ⁡ ( v - R I 0 ) = - t R C + K

Em que esse K é uma constante de integração.

Passo 3

Então, não chegamos a uma solução do v já que existe a barreira do logaritmo, como resolver isso? Simples, usa a exponencial para os dois lados com número e , com isso

e ln ⁡ ( v - R I 0 ) = e - t R C + K

Qual o resultado de e l n ? É o termo dentro do logaritmo, logo, já eliminamos o termo, então temos que

v - R I 0 = e k e - t R C

Logo,

v = R I 0 + A e - t R C

Sendo A = e k , que vai a constante a ser determinada pelas condições (como em EDO mesmo). Para encontrar A, precisamos da “tensão” inicial quando o regime era permanente, nós já descobrimos isso no inicio do problema, então

V 0 = 4   V

Temos que

A = V 0 - R I 0

Portanto,

v = R I 0 + ( V 0 - R I 0 ) e - t R C

Passo 4

Agora, é somente substituir os valores

v = 4000 × 2,5 × 10 - 3 + 4 -   4000 × 2,5 × 10 - 3 e - t 4000 × 5 × 10 - 6  

O termo R I 0 tem como resultado 10   V , já que é tensão, logo, podemos reduzir a complexidade das contas

v = 10 + 4 - 10 e - 50 t

Portanto, v é igual a

v = 10 - 6 e - 50 t   V

Resposta

v = 10 - 6 e - 50 t   V

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