Enunciado

Calcule i e v para t > 0 , se v (0) = - 6 V .

Passo 1

Fala, pessoal. Tudo tranquilo?

Vocês estão mandando muito nas questões. Mas, vamos continuar praticando. Olha só esse circuito RC, a questão nos pede a corrente que está circulando na malha 1 e a tensão do capacitor de (1)/(8) F . Vamos fazer juntinhos e arrasar! 💪

Para essa questão, temos que fazer análise de malhas, para isso vamos definir duas correntes em cada malha, vamos denominá-las de i e i_2 . Agora, nós podemos fazer análise das malhas.

Malha 1: 36 - 6 i - v = 0

Malha 2: v - 12 i_2 = 0

Belezinha, pessoal. Agora que já sabemos as equações, vamos pegá-las para formar um sistema de equações e acharmos a EDO do circuito.

36 - 6 i - v = 0 * ( - 2 )

v - 12 i_2 = 0

- 72 + 12 i + 2 v = 0 +

v - 12 i_2 = 0

- 72 + 12 i + 3 v - 12 i_2 = 0

12 (i - i_2) + 3 v - 72 = 0

Vamos denominar o (i - i_2) como i c .

12 i_c + 3 v = 72

E chegamos na EDO! Agora, vamos resolver juntinhos 😉

Passo 2

Muito bom! Resolvendo a EDO, iremos encontrar nosso v ( t ) . Vamos lá, pessoal!

12 * C * (d v)/(d t) = 72 - 3 v

12 * (1)/(8) * (d v)/(d t) = 72 - 3 v

(d v)/(72 - 3 v) = (8)/(12) * d t

(d v)/(72 - 3 v) = (2)/(3) * d t

Putz! E agora??? 😲 Ixiii...vamos ter que usar integral. Mas, fica tranquilo, vamos te mostrar como é de boa. Partiu?

int (d v)/(72 - 3 v)

Vamos substituir 72 - 3 v = u e d u = - 3 d v

int (d v)/(72 - 3 v) = - (1)/(3) int (d u)/(u)

- (1)/(3) int (d u)/(u) = - (1)/(3) l n ( 72 - 3 v )

- (1)/(3) ln (72 - 3 v) = (2)/(3) t

- ln (72 - 3 v) = 2 t + C

ln (72 - 3 v) = - 2 t + C

72 - 3 v = e^(- 2 t) * C

v = - C * e^(- 2 t) + (72)/(3)

v = - C + 24

Passo 3

Ufaaa! Finalmente, achamos nossa expressão para o v , mas peraí, não sabemos quanto vale a constante C. Para isso, vamos pegar a expressão que descobrimos e usar o v = - 6 .

- 6 = - C + 24

C = 30

Belezinha, pessoal. Essa parte foi bem tranquila né? Ei, estamos quase terminando, só vamos achar agora o v ( t ) e o i (t) . Para o v ( t ) vamos usar: v ( t ) = - C * e^(- 2 t) + 24

Blz! Vamos substituir os valores que já temos

v ( t ) = - 30 * e^(- 2 t) + 24 V

Muito bem! Agora, lembra da nossa análise da primeira malha??? Vamos usá-la novamente e, assim, acharemos a corrente.

36 - 6 i - v = 0

36 - 6 i + 30 * e^(- 2 t) - 24 = 0

12 - 6 i + 30 * e^(- 2 t) = 0

i = (12 + 30 * e^(- 2 t))/(6)

i = 2 + 5 * e^(- 2 t) A

Resposta

i ( t ) = i = 2 + 5 * e^(- 2 t) A

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor ou a faixa de valores de μ = 1 + R ≥ 1 tal que o circuito seja:a) superamortecido;b) subamortecido;c) amortecimento crítico;
a) Calcule v para t0 , se v a 0 = 0 e v b 0 = 2 V .b) Repita a parte (a) se a fonte de 4 - V e trocada por uma de 26 cos ⁡ 2 t V . c) Repita a parte (a) se a fonte de 4 - V foi substituída por uma de
Calcule v para t0 , se não existe energia inicia! armazenada e v g = 5 V
Equações diferenciais de ordem elevada podem ser resolvidas da mesma forma que as equações de segundo grau. Existem mais frequências naturais e logo mais termos na resposta natural. Por exemplo, se d
Calcule v ,t0 , se:a) v 1 0 = 4 V ,v 0 = 0 ; b) v 1 0 = 0 ,v 0 = 2 V ; c) v 1 0 = 4 V ,v 0 = 2 V .