Enunciado

Calcule as seguintes derivadas:

(a) (d)/(d t) [ u (t - 1) * u (t + 1) ]

(b) (d)/(d t) [r (t - 6) * u (t - 2)]

(c) (d)/(d t) [s e n (4 t) * u (t - 3)]

Passo 1

Temos que a função degrau e impulso se relacionam uma com a outra através da diferenciação/integração, onde a função impulso é a derivada da função degrau. Assim, aplicando a regra da cadeia para nossas funções vamos obter

(d)/(d t) [u (t - 1) * u (t + 1)] = delta (t - 1) * u (t + 1) + u (t - 1) * delta (t + 1)

-> delta (t - 1) * 1 + 0 * delta (t + 1) = delta (t - 1)

Já para a segunda vamos ter que lembrar que a derivada da função rampa é a função degrau, então,

(d)/(d t) [r (t - 6) * u (t - 2)] = u (t - 6) * u (t - 2) + r (t - 6) * delta (t - 2)

-> u (t - 6) * 1 + 0 * r (t - 6) = u (t - 6)

Por fim, para concluirmos o exercício a última derivada fica

(d)/(d t) [s e n (4 t) * u (t - 3)] = 4 * cos (4 t) * u (t - 3) + s e n (4 t) * delta (t - 3)

-> 4 * cos (4 t) * u (t - 3) + s e n (4 * 3) * delta (t - 3)

-> 4 * cos (4 t) * u (t - 3) + s e n (12) * delta (t - 3)

Os valores de seno e cosseno aqui são calculados em radianos.

Resposta

(a) delta (t - 1)

(b) u (t - 6)

(c) 4 * cos (4 t) * u (t - 3) - 0.5366 * delta (t - 3)

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