Enunciado

Para o circuito do Ex. 14.3.2, tome i g 2 = e - 2 t c o s ⁡ ( t + 45 ° ) A, permanecendo v g 1 como está, e calcule v por (a)usando superposição, (b) escrevendo uma única equação de nó e (c) usando transformações de fonte.

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite, boa madrugada!! Vamos para mais umazinha!!

Temos o seguinte circuito:

Vamos primeiro utilizar a superposição para encontrar v . Assim, temos que:

v = v 1 + v 2

Passo 2

Também sabemos que, para uma resistência R , a impedância é:

Z R s = R

Para uma indutância L , sua impedância é:

Z L s = s L

E, para uma capacitância C , sua impedância é:

Z C s = 1 s C

Nesse sentido, para o circuito desse exercício, temos:

Passo 3

Fazendo primeiro com a fonte de tensão, temos:

Por divisor de tensão, temos que v 1 é dado por:

v 1 = v g 1 4 s | | ( 4 + 2 s ) 4 s | | 4 + 2 s + 4 ∴

v 1 = 4 ∠ - 45 ° 16 + 8 s 2 s 2 + 4 s + 4 16 + 8 s 2 s 2 + 4 s + 4 + 4 ∴

v 1 = 4 ∠ - 45 ° 16 + 8 s 8 s 2 + 24 s + 32

Passo 4

Para este caso, sabemos que:

s = - 2 + j

Assim, substituímos em v 1 :

v 1 = 4 ∠ - 45 ° 16 + 8 ( - 2 + j ) 8 ( - 2 + j ) 2 + 24 ( - 2 + j ) + 32 ∴

v 1 = j 2 2 = 2 2 ∠ 90 °   V

Passo 5

Agora, para a fonte de corrente, temos:

Fazendo a Lei dos Nós, temos:

i g 2 = v 2 4 + 2 s + v 2 ( 4 | |   4 / s   )   ∴

i g 2 = v 2 4 + 2 s + 4 v 2 + 4 v 2 s 16 ∴

v 2 = i g 2 64 + 32 s 8 s 2 + 24 s + 32

Passo 6

Para este caso, sabemos que:

s = - 1

Assim, substituímos em v 2 :

v 2 = 1 ∠ 45 ° 64 + 32 ( - 1 ) 8 ( - 1 ) 2 + 24 ( - 1 ) + 32

v 2 = 2 ∠ 45

Passo 7

Portanto, somando as duas tensões, temos:

v = v 1 + v 2 ∴

v = 4 e - 2 t cos ⁡ t + 135 °   V

Passo 8

Fazendo uma única equação de nó, temos:

v 4 s = v g 1 - v 4 + i g 2 + - v 4 + 2 s ∴

v S - v g 1 + 4 4 + v 4 + 2 s = i g 2 ∴

v 2 s 2 + 6 s + 8 = i g 2 16 + 8 s + v g 1 4 + 2 s ∴

v = i g 2 16 + 8 s + v g 1 4 + 2 s 2 s 2 + 6 s + 8

Sabemos que i g 2 = 1 ∠ 45 °   A , v g 1 = 4 ∠ 45 °   V e s = - 2 + j . Logo, temos:

v = 8 ∠ 135 ° + 8 ∠ 4 5 ° 2 2 ∠ - 45 ° ∴

v = 4 ∠ 135 °   V ∴

v = 4 e - 2 t cos ⁡ t + 135 °   V

Passo 9

Usando transformações de fonte, temos:

Passo 10

Fazendo a Lei dos Nós, temos:

v 4 s = v g 1 4 + 0 - v 4 + i g 2 + 0 - v 4 + 2 s

Fazendo i g 2 = 1 ∠ 45 °   A , v g 1 = 4 ∠ 45 °   V e s = - 2 + j , temos que:

v = 4 e - 2 t cos ⁡ t + 135 °   V

Ufaaaa! Vamos para outra!! ;)

Resposta

v = 4 e - 2 t cos ⁡ t + 135 °   V

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