Para o circuito da Figura 8.101 , detemrine v ( t ) para t > 0 . Suponha v 0 + = 4   V e i 0 + = 2   A .

Passo 1

Bom, vamos lá! Olhando as correntes que entram e saem do nó 1 , podemos escrever a seguinte equação:

i 4 + i = i C

5 i 4 = C 1 d v d t

5 i 4 = 0,1 d v d t

i = 0,08 d v d t

Aplicando a lei das malhas na malha externa, temos:

v = - 2 i + 1 C 2 ∫ i d t ,   C 2 = 0,5

Ou então,

- d v d t = 2 d i d t + 2 i

Passo 2

Se substituirmos - d v d t = 2 d i d t + 2 i na equação da corrente, temos:

- d v d t = 0,16 d 2 v d t 2 + 0,16 d v d t

0,16 d 2 v d t 2 + 0,16 d v d t + d v d t = 0

d 2 v d t 2 + 7,25 d v d t = 0

Substituindo d v d t por s , temos:

s 2 + 7,25 s = 0 → s s + 7,25 = 0

Assim, as raízes são s 1,2 = 0 ; - 7,25 . Logo, a solução para equação diferencial da tensão é:

v t = A + B e - 7,25 t

Aplicando o valor inicial para t = 0 na tensão e na corrente, temos:

v 0 = 4 = A + B

i 0 = 2 = 0,08 d v 0 + d t

d v 0 + d t = 25

Mas, d v d t = - 7,25 B e - 7,25 t , o que nos leva para

d v 0 d t = - 7,25 B = 25   → B = - 3,448

A = 4 - B → A = 7,448

Portanto, a tensão é igual a:

v t = 7,448 - 3,448 e - 7,25 t   V

Resposta

A tensão é igual a:

v t = 7,448 - 3,448 e - 7,25 t   V

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