A chave no circuito da Figura P8.46 esteve na posição a por um longo tempo. Em t = 0 , ela passa instantaneamente para a posição b . Determine i t para t ≥ 0 .

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaala, pessoal! Vamos dar continuidade na resolução de circuitos chaveados. Como é de praxe, o que temos que fazer é calcular a tensão no capacitor e a corrente no indutor antes do chaveamento. É possível perceber que na situação mostrada antes do chaveamento não há nenhuma fonte de tensão na malha do capacitor, logo

v C 0 - = 0

Para encontrarmos a corrente no indutor, vamos olhar para a figura abaixo:

Observe que o resistor de 50   Ω fica curto-circuitado, fazendo com que a corrente que circule no indutor seja toda a corrente da fonte. Logo

i L 0 - = 75   m A

Passo 2

Para analisarmos a situação posterior ao chaveamento, temos que calcular as frequências α e ω 0 :

ω 0 2 = 1 L C ⇒ ω 0 2 = 1 80 ⋅ 10 - 3 × 200 ⋅ 10 - 6 ⇒ ω 0 2 = 62500 r a d 2 s 2

⇒ ω 0 = 250 r a d s

e

α = R 2 L ⇒ α = 40 2 ⋅ 80 ⋅ 10 - 3 ⇒ α = 250 r a d s

Como ω 0 = α , temos que a resposta do circuito é criticamente amortecida e a sua forma é do tipo

i = A 1 t e - 250 t + A 2 e - 250 t

Passo 3

Escolhendo t = 0 , vamos obter

i 0 = A 1 ⋅ 0 ⋅ e - 250 × 0 + A 2 ⋅ e - 250 × 0 ⇒ i 0 = A 2 ⋅ 1

∴ A 2 = - 0,075   A

Lembrando que o “A” que acompanha o - 0,075 se refere à unidade de corrente, ampère, e não a constante. #FicaADica

Outra expressão é a derivada da corrente. Ela irá aparecer quando derivarmos a tensão no capacitor. Assim,

v L = L d i d t

Derivando a corrente, temos

d i d t = A 1 1 ⋅ e - 250 t + t - 250 e - 250 t + A 2 - 250 e - 250 t

Escolhendo t = 0 , vamos obter

d i 0 d t = A 1 - 250 A 2

Para encontrarmos o valor de d i ( 0 ) / d t precisamos fazer a LKT para o circuito depois do chaveamento. Vamos colocá-lo aí para conseguirmos visualizar de forma fácil a equação que queremos:

Passo 4

De posse do circuito, fica fácil fazer a LKT:

v L + v 40 Ω + v C = 0 ⇒ v L = - 40 ⋅ - 0,075 + 0

⇒ v L = 3   V

Como

v L = L d i d t ⇒ d i ( 0 ) d t = 3 0,08 ⇒ v L = 37,5   V

Além disso, d i 0 d t = A 1 - 250 A 2

temos então que

37,5 = A 1 - 250 - 0,075 ⇒ A 1 = 37,5 - 18,75 ⇒ A 1 = 18,75

Com isso, podemos escrever i ( t ) como sendo

i t = 18,75 ⋅ t ⋅ e - 250 t - 0,075 ⋅ e - 250 t   A ,     t ≥ 0

E assim, finalizamos mais uma questão. Vamos embora que a próxima questão tomou uma radiação de raios gama e está gigante.

Resposta

i t = 18,75 ⋅ t ⋅ e - 250 t - 0,075 ⋅ e - 250 t   A ,     t ≥ 0

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