Enunciado

Para o circuito da figura, calcule i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Para t < 0 o indutor funciona como um curto circuito e o capacitor funciona como um circuito aberto, então temos:

Passo 2

Agora, vamos calcular a resistência equivalente:

E em seguida, fazendo o paralelo:

Passo 3

Vamos calcular a corrente i ( 0^- ) e como no indutor não pode haver mudanças repentinas na corrente, temos:

i ( 0 ) = i ( 0^+ ) = i ( 0^- ) = (30 V - 10 V)/(4 omega) = 5 A

Passo 4

Vamos encontrar a tensão utilizando a lei das correntes de Kirchhoff no nó v ( 0^- ) :

(30 - v ( 0^- ))/(6) = (v ( 0^- ) - 10)/(6)

v ( 0^- ) = 20 V

A tensão v ( 0^- ) = v ( 0^+ ) = 20 V , pois no capacitor, não pode haver mudanças repentinas de tensão.

Passo 5

Agora, vamos passar esse circuito simplificado para o domínio de Laplace incluindo as condições iniciais:

Passo 6

Aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff nesta figura, conseguimos isolar o I ( s )

I ( s ) = (2.5 s^2 + 25)/(( s + 2.475 ) ( s^2 + 0.775 s + 8.08 ))

Passo 7

Separando em frações parciais teremos:

I ( s ) = (2.5 s^2 + 25)/(( s + 2.475 ) ( s^2 + 0.775 s + 8.08 )) = (A)/(s + 2.475) + (B s + C)/(s^2 + 0.775 s + 8.08)

Agora basta encontrar A , B e C :

A = 3.28

B = - 0.78

C = - 0.6

Daí, substituindo, teremos:

I ( s ) = (3.28)/(s + 2.475) - (0.78 s + 0.6)/(s^2 + 0.775 s + 8.08) = (3.28)/(s + 2.475) - 0.78 (( s + 0.387 ))/(( s + 0.387 )^2 + 2.81 6^2) - 0.1 (2.816)/(( s + 0.387 )^2 + 2.81 6^2)

Por Laplace utilizando a tabela de transformadas, teremos:

i ( t ) = [ 3.28 e^(- 2.475 t) - 0.78 e^(- 0.387 t) c o s ( 2.816 t ) - 0.1 e^(- 0.387 t) s e n ( 2.816 t ) ] u ( t ) A

Resposta

i ( t ) = [ 3.28 e^(- 2.475 t) - 0.78 e^(- 0.387 t) c o s ( 2.816 t ) - 0.1 e^(- 0.387 t) s e n ( 2.816 t ) ] u ( t ) A

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