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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 39

Considere o circuito “tanque” da F i g u r a   14.79 e determine a frequência de ressonância

Passo 1

Sabemos que na frequência de ressonância, a reatância X é nula.

Então encontraremos a impedância Z que contém X e igualaremos esse X a zero.

Em resumo, encontrar:

Z = R + j X

Para igualar:

X = 0

Lembrando que a unidade imaginaria j tem essa propriedade importante:

- j = 1 j

Ela será usada para simplificação.

Passo 2

Achando a expressão para Z

Z = R + j ω L ∥ 1 j ω C      

Para dois ramos o paralelo é:

Z = R + j ω L ⋅ 1 j ω C R + j ω L + 1 j ω C      

Distribuindo e simplificando em cima e usando - j = 1 j   em baixo.

Z = R j ω C + L C R + j ω L   - 1 ω C      

Multiplicaremos pelo conjugado, isso retira o j do denominador:

Z = L C + R j ω C R + j ω L   - 1 ω C ⋅ R - j ω L   - 1 ω C R - j ω L   - 1 ω C    

Z = L C R - L C j ω L   - 1 ω C + R R j ω C + R j ω C ⋅ - j ω L   - 1 ω C R R - R j ω L   - 1 ω C + R j ω L   - 1 ω C + - j j ω L   - 1 ω C 2

Usando as propriedades de j e simplificando as partes:

Z = L C R   - L C j ω L   - 1 ω C - j R 2 ω C - R ω C ω L   - 1 ω C R 2 + ω L   - 1 ω C 2

Organizando os termos, vamos escrever como complexo R e a l   +   j a r g u m e n t o , o argumento é a reatância X :

Z = L C R   - R ω C ω L   - 1 ω C       - L C j ω L   - 1 ω C - j R 2 ω C R 2 + ω L   - 1 ω C 2

Z = L C R   - R ω C ω L   - 1 ω C       - j L C ω L   - L C 1 ω C + R 2 ω C R 2 + ω L   - 1 ω C 2

Z = L C R   - R ω C ω L   - 1 ω C ⏞ R e a l       - j ω L 2 C   - L ω C 2 + R 2 ω C ⏞ a r g u m e n t o R 2 + ω L   - 1 ω C 2

Dividindo a fração em duas, elas tem que ter o mesmo numerador:

Z = L C R   - R ω C ω L   - 1 ω C ⏞ R e a l       R 2 + ω L   - 1 ω C 2 -       j ω L 2 C   - L ω C 2 + R 2 ω C ⏞ a r g u m e n t o R 2 + ω L   - 1 ω C 2

Pronto. Agora vamos desprezar o   Z e a parte real e igualar o argumento que é a reatância X a zero.

Passo 3

Achando afórmula para ω

ω L 2 C   – L ω C 2 + R 2 ω C R 2 + ω L   - 1 ω C 2 = 0

ω L 2 C   – L ω C 2 + R 2 ω C = 0

Tirando o M M C :

C 3 ω 3 L 2 - ω C 2 L + ω C 3 R 2   C 4 ω 2 = 0

C 3 ω 3 L 2 - ω C 2 L + ω C 3 R 2     = 0

C 3 ω 3 L 2 - ω C 2 L - C 3 R 2 = 0

ω 2 = ω C 2 L - C 3 R 2 ω C 3 L 2

ω 2 = C 2 ( L - C R 2 ) C 3 L 2

ω 2 = L - C R 2 C L 2

ω 2 = L C L 2 - C R 2 C L 2

ω 2 = 1 C L - R 2 L 2

ω = 1 L C - R 2 L 2    

Agora substitui os termos:

ω = ω 0 = 1 40 ⋅ 10 - 3 ⋅ 1 ⋅ 10 - 6 - 50 2 ( 40 ⋅ 10 - 3 ) 2    

ω 0 =     4,841 k r a d s

Aleluia!

Resposta

ω 0 =     4,841 k r a d s

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