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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 45

a) Deduza o par de transformadas dado pela Equação 12.83. b) Deduza o par de transformadas dado pela Equação 12.84.

Passo 1

  1. Da tabela 12.2

    2. L t n f t = - 1 n d n F s d s n       ( 1 )

    Deixemos

    f t = 1       2

    Assim, da tabela 12.1

    F s = 1 s       ( 3 )

    De (2) e (3)

    d n F s d s n = - 1 n n ! s n + 1

    Substituindo em (1)

    L { t n f t } = - 1 n - 1 n n ! s n + 1

    = n ! s n + 1

    Substituindo s por r   - 1

    L { t r - 1 f t } = r - 1 ! s r - 1 +

    = n - 1 ! s r

    Da tabela 12.1,

    L { t r - 1 e - a t } = r - 1 ! s + a r

    Após multiplicar ambos os lados por K e reorganizar

    K r - 1 ! L {   t r - 1 e - a t } = K s + a r

    L - 1 { K s + a r } = K t r - 1 e - a t r - 1 ! u t

    Passo 2

  2. f t = L - 1 { K s + a - j β r + K * s + a + j β r }

Do obtido na parte (a)

f t = K t r - 1 r - 1 ! e - α - j β t + K * t r - 1 r - 1 ! e - α t e - j β t

Para θ   =   0

e j θ = c o s θ + j s i n θ

= c o s 0 + j s i n 0

= 1

E

e - j θ = c o s θ - j s i n θ

= c o s 0 - j s i n 0

= 1

Assim

f t K t r - 1 e - α t r - 1 ! e j θ e j β t + e - j θ e - j β t

Da regra de Euler

e j β t + θ = c o s β t + θ + j s i n β t + θ

e - j β t + θ = c o s β t + θ - j s i n β t + θ

Assim,

f t = 2 K t r - 1 e - α t r - 1 ! c o s β t + θ

Resposta

  1. L - 1 { K s + a r } = K t r - 1 e - a t r - 1 ! u t
  2. f t = 2 K t r - 1 e - α t r - 1 ! c o s β t + θ

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