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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 47

Determine v ( t ) para o circuito na Figura 13.112 .

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar os elementos do circuito que estão no domínio do tempo para o domínio da frequência:

165 s e n (3 t) -> 165 /_ 0 ° V , omega = 3 r a d // s

(1)/(3) F -> (1)/(j omega C) = (1)/(j 3 ((1)/(3))) = - j Ω

Aplicando a lei das malhas na malha da esquerda:

165 = I_1 + 2 (I_1 - I_2) + V_1

3 I_1 - 2 I_2 + V_1 = 165 ... (1)

Aplicando a lei das malhas na malha do meio:

- V_1 + 2 (I_2 - I_1) - j I_2 + V_2 = 0

- 2 I_1 + (2 - j) I_2 - V_1 + V_2 = 0 ... ( 2 )

Similarmente, aplicando a lei das malhas na malha da direita:

- V_2 + 5 I_3 = 0

5 I_3 - V_2 = 0 ... (3)

Nos terminais do transformador, temos:

(V_2)/(V_1) = 4 -> 4 V_1 - V_2 = 0 ... (4)

(I_1 - I_2)/(I_2 - I_3) = - 4 -> I_1 + 3 I_2 - 4 I_3 = 0 ... ( 5 )

Passo 2

Aqui, caímos num sistema de equações, com cinco equações e cinco incógnitas:

{[[3 I_1 - 2 I_2 + V_1 = 165],[- 2 I_1 + (2 - j) I_2 - V_1 + V_2 = 0],[5 I_3 - V_2 = 0],[4 V_1 - V_2 = 0],[I_1 + 3 I_2 - 4 I_3 = 0]])

Escrevendo de modo matricial:

[[[3,-,2,0,1,0],[-,2,2,-,j,0,-,1,1],[0,0,5,0,-,1],[0,0,0,4,-,1],[1,3,-,4,0,0]]] * [[[I_1],[I_2],[I_3],[V_1],[V_2]]] = [[[165],[0],[0],[0],[0]]] -> [A] [X] = [ b ]

Uma maneira de encontrarmos os valores para as incógnitas é usar a regra de Cramer! Primeiro de tudo, precisamos achar o determinante da matriz:

det (A) = [[[3,-,2,0,1,0],[-,2,2,-,j,0,-,1,1],[0,0,5,0,-,1],[0,0,0,4,-,1],[1,3,-,4,0,0]]]

det (A) = - 237 + j 5 3

Agora, vamos calcular os determinantes substituindo o vetor [ b ] nas colunas de cada variável. Assim, para I_1 :

d e t ( A_I_1 ) = |[[165,-,2,0,1,0],[0,2,-,j,0,-,1,1],[0,0,5,0,-,1],[0,0,0,4,-,1],[0,3,-,4,0,0]]|

det (A_I_1) = - 12705 + j 2640

Para I_2 :

det (A_I_2) = |[[3,165,0,1,0],[-,2,0,0,-,1,1],[0,0,5,0,-,1],[0,0,0,4,-,1],[1,0,-,4,0,0]]|

det (A_I_2) = - 2805

Para I_3 :

d e t (A_I_3) = |[[3,-,2,165,1,0],[-,2,2,-,j,0,-,1,1],[0,0,0,0,-,1],[0,0,0,4,-,1],[1,3,0,0,0]]|

det ( A_I_3 ) = - 5280 + j 660

Para V_1 :

det ( A_V_1 ) = |[[3,-,2,0,165,0],[-,2,2,-,j,0,0,1],[0,0,5,0,-,1],[0,0,0,0,-,1],[1,3,-,4,0,0]]|

det ( A_V_1 ) = - 6600 + j 825

Para V_2 :

det (A_V_2) = |[[3,-,2,0,1,165],[-,2,2,-,j,0,-,1,0],[0,0,5,0,0],[0,0,0,4,0],[1,3,-,4,0,0]]|

det (A_V_2) = - 26400 + j 3300

Passo 3

Para encontrarmos os valores de cada uma das variáveis, precisamos dividir o determinante de cada uma pelo determinante da matriz A . Logo,

I_1 = (det (A_I_1))/(det (A)) = (- 12705 + j 2640)/(- 237 + j 53) = 53,4 + j 0,81 A

I_2 = (det (A_I_2))/(det (A)) = (- 2805)/(- 237 + j 53) = 11,3 + j 2,5 A

I_3 = (det (A_I_3))/(det (A)) = (- 5280 + j 660)/(- 237 + j 53) = 21,8 + j 2,09 A

V_1 = (det (A_V_1))/(det (A)) = - (- 6600 + j 825)/(- 237 + j 53) = 27,3 + j 2,6 V

V_2 = (d e t (A_V_2))/(det (A)) = (- 26400 + j 3300)/(- 237 + j 53) = 109,05 + j 10,5 V

Como V está em paralelo a V_2 ,

V = V_2 = 109,55 /_ 5,48 ° V

Passando para o domínio do tempo,

v (t) = 109,55 s e n (3 t + 5,48 °) V

Resposta

A tensão é igual a:

v (t) = 109,55 s e n (3 t + 5,48 °) V

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Determine a corrente i X no circuito do transformador ideal da Figura 13.114 .
Determine I 1 e I 2 no circuito da Figura 13.111 .Inverta o ponto em um dos enrolamentos. Determine I 1 e I 2 novamente
Considere o circuito mostrado na Figura 13.110 e determine o valor da potência média absorvida pelo resistor de 8Ω .
Calcule a impedância de entrada para o circuito da Figura 13.115 .
Para o circuito da Figura 13.117 , determine a relação de espiras n que resultará na transferência de máxima potência média para a carga. Calcule a máxima potência média.